Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2012

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Do obliczenia tej nierówności skorzystamy z metody delty.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-8,\;c=7\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot7=64-28=36 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{36}=6$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)-6}{2\cdot1}=\frac{8-6}{2}=\frac{2}{2}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)+6}{2\cdot1}=\frac{8+6}{2}=\frac{14}{2}=7$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Zaznaczamy miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy parabolę. Kropki przy miejscach zerowych będą zamalowane bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\).



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości większe lub równe zero. W związku z tym rozwiązaniem będzie następujący przedział: \(x\in(-\infty;1\rangle\cup\langle7;+\infty)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
$$x^3-6x^2-9x+54=0 \\
x^2(x-6)-9(x-6)=0 \\
(x-6)(x^2-9)=0$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Przyrównujemy wartości z obydwu nawiasów do zera i w ten sposób wyznaczamy rozwiązania naszego równania:
$$x-6=0 \quad\lor\quad x^2-9=0 \\
x=6 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz różnicę ciągu arytmetycznego, czyli \(r=4\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Z treści zadania wiemy, że \(a_{1}=3\) oraz \(a_{4}=15\). Podstawiając te informacje do wzoru na czwarty wyraz ciągu arytmetycznego możemy obliczyć różnicę ciągu:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{4}=a_{1}+(4-1)r \\
15=3+3r \\
3r=12 \\
r=4$$

Krok 2. Obliczenie sumy sześciu początkowych wyrazów ciągu.
Znając wartość różnicy ciągu oraz wartość pierwszego wyrazu możemy obliczyć sumę dowolnej liczby wyrazów:
$$S_{n}=\frac{2\cdot a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \\
S_{6}=\frac{2\cdot3+(6-1)\cdot4}{2}\cdot6 \\
S_{6}=\frac{6+20}{2}\cdot6 \\
S_{6}=\frac{26}{2}\cdot6 \\
S_{6}=13\cdot6 \\
S_{6}=78$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz jakąkolwiek zależność z której można obliczyć długość odcinka \(AD\) np. \(sin30°=\frac{|AD|}{6}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Musimy zauważyć, że trójkąt \(ADC\) jest trójkątem prostokątnym (bo wysokość zawsze jest opuszczana pod kątem prostym). To dość ważna informacja, bo dzięki niej wiemy, że możemy skorzystać z funkcji trygonometrycznych. Skoro znamy miarę kąta jednego z kątów ostrych i znamy długość przeciwprostokątnej \(AC\), to możemy skorzystać z funkcji sinusa:
$$sin30°=\frac{|AD|}{|AC|} \\
\frac{1}{2}=\frac{|AD|}{6} \\
|AD|=3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy w trakcie obliczeń otrzymasz jakąś kluczową zależność np. że \(P_{DCE}=\frac{1}{4}|AC|\cdot h\) (patrz: Krok 2.), albo zapiszesz, że pole trójkąta \(ABC\) lub \(ACD\) jest dwa razy większe od pola trójkąta \(DCE\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Tak naprawdę kluczem do sukcesu jest dorysowanie wspólnej wysokości trójkąta \(ACD\) oraz rozwartokątnego trójkąta \(DCE\) z wierzchołka \(D\). Warto też zauważyć, że pole trójkąta \(ACD\) jest dwa razy mniejsze od pola naszego równoległoboku.

Krok 2. Zapisanie wzoru na pole trójkąta \(DCE\) oraz \(ACD\).
Trójkąt \(DCE\) jest rozwartokątny, jego podstawą niech będzie \(|CE|\), a wysokością dorysowany odcinek \(h\). Otrzymamy więc:
$$P_{DCE}=\frac{1}{2}\cdot|CE|\cdot h$$

W treści zadania mamy podaną informację, że \(|CE|=\frac{1}{2}|AC|\) tak więc po podstawieniu tej informacji do powyższego wzoru otrzymamy:
$$P_{DCE}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}|AC|\cdot h \\
P_{DCE}=\frac{1}{4}\cdot|AC|\cdot h$$

Możemy jeszcze zapisać sobie wzór na pole trójkąta \(ACD\), bo przyda nam się on w kolejnym kroku:
$$P_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot h$$

Krok 3. Zapisanie wzoru na pole równoległoboku \(ABCD\).
Nasz równoległobok ma dwa razy większą powierzchnię od trójkąta \(ACD\), zatem:
$$P_{ABCD}=2\cdot P_{ACD} \\
P_{ABCD}=2\cdot\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot h \\
P_{ABCD}=|AC|\cdot h$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
$$\frac{P_{ABCD}}{P_{DCE}}=\frac{|AC|\cdot h}{\frac{1}{4}|AC|\cdot h}=4$$

Udało nam się w ten sposób udowodnić, że pole równoległoboku \(ABCD\) jest czterokrotnie większe od pola trójkąta \(DCE\), co kończy nasze dowodzenie.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy rozwiążesz to zadanie podstawiając do wzoru konkretną liczbę \(c\).
1 pkt
• Gdy obliczysz deltę (patrz: Krok 1.), ale nie udowodnisz dlaczego jest ona zawsze dodatnia.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Obliczenie delty.
Najprościej to zadanie udowodnimy pomocą delty.
Współczynniki: \(a=1,\;b=b,\;c=c\)
$$Δ=b^2-4ac=b^2-4c$$

Krok 2. Analiza otrzymanej delty.
Wartość \(b^2\) jest zawsze dodatnia (lub równa zero), bo każda liczba podniesiona do kwadratu jest dodatnia (lub równa zero).
Wartość \(4c\) będzie zawsze ujemna, bo zakładamy \(c\lt0\).
W związku z tym mamy:
$$Δ=\text{(l. dodatnia)-(l. ujemna)=l. dodatnia}$$

Udało nam się w ten sposób udowodnić, że delta wyjdzie zawsze dodatnia, a to oznacza, że rzeczywiście ten trójmian będzie miał dwa różne miejsca zerowe.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz współrzędne punktu \(B\) z jedną niewiadomą \(x\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(CD\) w postaci \(y=-2x+11\) (gdzie punkt \(D\) jest spodkiem wysokości opuszczonej z punktu \(C\)).
ALBO
• Gdy obliczysz, że \(|AC|=\sqrt{65}\).
2 pkt
• Gdy w zależności od sposobu rozwiązywania ułożysz odpowiednie równanie bądź stworzysz układ równań, z którego da się obliczyć współrzędne punktu \(B\) - jest tu bardzo wiele różnych możliwości (np. mogą to być równania związane z długościami odcinków, z odległością punktu od prostej itd.).
3 pkt
• Gdy doprowadzisz zapisane równanie lub układ równań do postaci ogólnej równania kwadratowego np. \(5x^2-44x+68=0\) (patrz: Krok 3.) lub \(\frac{5}{4}x^2-11x+17=0\) lub \(5y^2-22y+17=0\).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu D=(\frac{22}{5};\frac{11}{5})\) (gdzie punkt \(D\) jest spodkiem wysokości opuszczonej z punktu \(C\)).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Nasz rysunek możemy wykonać dość dokładnie, dzięki czemu będziemy w stanie zweryfikować później poprawność naszych obliczeń.

Krok 2. Określenie współrzędnych punktu \(B\).
Współrzędne każdego punktu możemy określić jako \((x;y)\). Z treści zadania wiemy, że przez punkt \(B\) przechodzi prosta o równaniu \(y=\frac{1}{2}x\). Możemy więc podstawić wartość tego "igreka" za współrzędną \(y\) i zapisać współrzędne tego punktu jako: \(B=(x;\frac{1}{2}x)\).

Dzięki temu pozbyliśmy się niewiadomej \(y\), a to nam znacznie ułatwi dotarcie do końcowego rozwiązania.

Krok 3. Zapisanie równania wynikającego z trójkąta równoramiennego.
Skorzystamy ze wzorów na długość odcinków w układzie współrzędnych. Wiemy, że boki \(AC\) oraz \(BC\) mają tą samą długość, dlatego między miarami tych odcinków możemy postawić znak równości. Znamy współrzędne \(A\) i \(C\), zapisaliśmy też sobie współrzędne punktu \(B\) z wykorzystaniem jednej niewiadomej, zatem:
$$|AC|=|BC| \\
\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\
(1-2)^2+(9-1)^2=(1-x)^2+\left(9-\frac{x}{2}\right)^2 \\
1+64=1-2x+x^2+81-9x+\frac{x^2}{4} \\
65=x^2+\frac{1}{4}x^2-11x+82 \\
\frac{5}{4}x^2-11x+17=0 \quad\bigg/\cdot4 \\
5x^2-44x+68=0$$

Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=5,\;b=-44,\;c=68\)
$$Δ=b^2-4ac=(-44)^2-4\cdot5\cdot68=1936-1360=576 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{576}=24$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-44)-24}{2\cdot5}=\frac{44-24}{10}=\frac{20}{10}=2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-44)+24}{2\cdot5}=\frac{44+24}{10}=\frac{68}{10}$$

Krok 5. Analiza otrzymanych rozwiązań i określenie końcowych współrzędnych punktu \(B\).
Dla \(x=2\) otrzymaliśmy współrzędną punktu \(A\). To nie jest więc to rozwiązanie, które nas interesuje, choć też jest dla nas ważne, bo przy okazji potwierdza poprawność naszych obliczeń (wszak punkt \(A\) także leży na prostej \(y=\frac{1}{2}x\)).

Współrzędne punktu \(B\) otrzymaliśmy z drugiego rozwiązania, czyli \(x=\frac{68}{10}\). Brakuje nam jeszcze współrzędnej \(y\), ale zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie w drugim kroku i zgodnie z równaniem prostej przechodzącej przez ten punkt:
$$y=\frac{1}{2}x \\
y=\frac{1}{2}\cdot\frac{68}{10} \\
y=\frac{68}{20}$$

Otrzymane wyniki możemy jeszcze skrócić i wyłączyć z nich całość, tak więc:
$$x=\frac{68}{10}=6\frac{4}{5} \\
y=\frac{68}{20}=3\frac{2}{5}$$

Poszukiwane współrzędne to \(B=\left(6\frac{4}{5};3\frac{2}{5}\right)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy, czyli \(a=4\sqrt{2}\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa, czyli \(|SE|=4\sqrt{3}\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej ostrosłupa, czyli \(|SF|=2\sqrt{14}\) (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy obliczysz zarówno długość krawędzi podstawy jak i wysokości ostrosłupa oraz ściany bocznej (patrz: Krok 2. oraz 3. oraz 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że \(tgα=\sqrt{6}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dorysujmy sobie przekątną \(AC\), bo z treści zadania wynika, że będziemy pracować na trójkącie \(ACS\).



Warto zauważyć, że skoro \(ACS\) jest trójkątem równobocznym, to \(|AC|=|AS|=|SD|=8\).

Potrzebujemy obliczyć sinus kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy, czyli zgodnie z naszym rysunkiem:
$$sinα=\frac{|SE|}{|SF|}$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, to w swojej podstawie ma on na pewno kwadrat. My znamy długość przekątnej tego kwadratu, bo \(|AC|=8\). Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem:
$$a\sqrt{2}=8 \\
a=\frac{8}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(SE\), czyli wysokości ostrosłupa.
Skorzystamy tutaj ze standardowego wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym, wiedząc że bok naszego trójkąta \(ACS\) ma długość \(a=8\).
$$|SE|=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
|SE|=\frac{8\sqrt{3}}{2} \\
|SE|=4\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(SF\), czyli wysokości ściany bocznej ostrosłupa.
Spójrzmy na trójkąt \(FDS\). Jest to na pewno trójkąt prostokątny, bo wysokość ściany bocznej jest opuszczona pod kątem prostym. Punkt \(F\) znajduje się w połowie długości odcinka \(AD\), bo \(ADS\) jest trójkątem równoramiennym, a wysokość trójkąta równoramiennego dzieli podstawę na dwie równe części. Długość odcinka \(AD\) wyliczyliśmy w drugim kroku, a to oznacza, że:
$$|FD|=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{2} \\
|FD|=2\sqrt{2}$$

Skoro znamy długość \(|FD|=2\sqrt{2}\), wiemy też, że \(|SD|=8\), to z Twierdzenia Pitagorasa obliczymy potrzebną nam długość \(|SF|\):
$$|FD|^2+|SF|^2=|SD|^2 \\
(2\sqrt{2})^2+|SF|^2=8^2 \\
4\cdot2+|SF|^2=64 \\
8+|SF|^2=64 \\
|SF|^2=56 \\
|SF|=\sqrt{56}=\sqrt{4\cdot14}=2\sqrt{14}$$

Krok 5. Obliczenie wartości sinusa.
Wszystkie potrzebne długości już wyznaczyliśmy, zatem wystarczy je tylko podstawić do wzoru który zapisaliśmy sobie w pierwszym kroku.
$$sinα=\frac{|SE|}{|SF|} \\
sinα=\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{14}} \\
sinα=\frac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{14}}{2\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}} \\
sinα=\frac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{14}}{2\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}} \\
sinα=\frac{4\sqrt{42}}{2\cdot14} \\
sinα=\frac{4\sqrt{42}}{28} \\
sinα=\frac{\sqrt{42}}{7}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi lub w postaci układu równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą, czyli postaci w której występuje jedynie niewiadoma \(v\) lub \(t\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.), ale samo równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.) rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy źle zinterpretujesz otrzymane wyniki z równania kwadratowego.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i zapisanie układu równań.
W całym zadaniu przyda nam się znajomość wzoru \(v=\frac{s}{t}\) i umiejętność jego zamiany na pożądaną formę.
\(v\) - średnia prędkość kolarza (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) - czas jazdy kolarza (w godzinach)
\(s=114\) - pokonana trasa (w kilometrach)

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Na podstawie treści zadania możemy zapisać dwa równania, które stworzą układ równań:
\begin{cases}
114=vt \\
(v-9,5)(t+2)=114
\end{cases}

Najprościej będzie podstawić wartość \(t=\frac{114}{v}\) z pierwszego równania do drugiego, dzięki czemu otrzymamy:
$$\require{cancel}
(v-9,5)\left(\frac{114}{v}+2\right)=114 \quad\bigg/\cdot v \\
(v-9,5)(114+2v)=114v \\
\cancel{114v}+2v^2-1083-19v=\cancel{114v} \\
2v^2-19v-1083=0$$

Krok 3. Obliczenie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-19,\;c=-1083\)
$$Δ=b^2-4ac=(-19)^2-4\cdot2\cdot(-1083)=361-(-8664)=361+8664=9025 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9025}=95$$

$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-19)-95}{2\cdot2}=\frac{19-95}{4}=\frac{-76}{4}=-19 \\
v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-19)+95}{2\cdot2}=\frac{19+95}{4}=\frac{114}{4}=28,5$$

Ujemną prędkość oczywiście odrzucamy, więc jedyną prawidłową odpowiedzią jest \(v=28,5\frac{km}{h}\).