Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny to taki ciąg liczb w którym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o tak zwaną różnicę ciągu arytmetycznego, którą zapisujemy symbolem \(r\). Można więc powiedzieć, że ciąg arytmetyczny polega na tym, że każdy kolejny wyraz jest większy lub mniejszy od poprzedniego o jakąś określoną wartość.

Przykładowe ciągi arytmetyczne
\(2,5,8,11,14…\) – jest to ciąg arytmetyczny w którym pierwszy wyraz jest równy \(2\) (czyli \(a_{1}=2\)), a każda kolejna liczba jest o \(3\) większa od poprzedniej (czyli \(r=3\)).

\(-7, 7, 17,27,37…\) – jest to ciąg arytmetyczny w którym pierwszy wyraz jest równy \(-7\) (czyli \(a_{1}=-7\)), a każda kolejna liczba jest o \(10\) większa od poprzedniej (czyli \(r=10\)).

\(36,34,32,30,28…\) – jest to ciąg arytmetyczny w którym pierwszy wyraz jest równy \(36\) (czyli \(a_{1}=36\)), a każda kolejna liczba jest o \(2\) mniejsza od poprzedniej (czyli \(r=-2\)).

\(7,6\frac{1}{2},6,5\frac{1}{2},5…\) – jest to ciąg arytmetyczny w którym pierwszy wyraz jest równy \(7\) (czyli \(a_{1}=7\)), a każda kolejna liczba jest o \(\frac{1}{2}\) mniejsza od poprzedniej (czyli \(r=-\frac{1}{2}\)).

Wzorami z których korzystamy przy ciągach arytmetycznych są:
Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r \\
\text{lub }a_{n}=a_{k}+(n-k)\cdot r$$

Z pierwszego wzoru korzystamy chcąc obliczyć wartość jakiegoś wyrazu ciągu arytmetycznego w sytuacji w której znamy wartość pierwszego wyrazu oraz różnicy ciągu.
Drugi wzór ma to samo zastosowanie, ale skorzystamy z niego wtedy kiedy zamiast wartości pierwszego wyrazu znamy wartość \(k\)-tego wyrazu (np. trzeciego, siódmego).

Wzór na sumę \(n\) pierwszych wyrazów ciągu
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$

Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

(nie muszą to być trzy pierwsze wyrazy, może to być np. piąty, szósty i siódmy wyraz)

Spójrzmy na przykładowe zadania w których wykorzystamy powyższe wzory:

Przykład 1. Wyznacz szósty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że \(a_{1}=7\) oraz \(r=3\).

Skorzystamy ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r\).
Z treści zadania wiemy, że \(a_{1}=7\) oraz \(r=3\). Skoro szukamy wartości szóstego wyrazu to do wzoru będziemy podstawiać \(n=6\), zatem:
$$a_{6}=a_{1}+(6-1)\cdot r \\
a_{6}=a_{1}+5\cdot r \\
a_{6}=7+5\cdot3 \\
a_{6}=7+15 \\
a_{6}=22$$

Przykład 2. Wyznacz ósmy wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że \(a_{5}=18\) oraz \(r=4\).

Skorzystamy ze wzoru \(a_{n}=a_{k}+(n-k)\cdot r\).
Poszukujemy wartość ósmego wyrazu, więc \(n=8\), mamy podany piąty wyraz \(a_{5}=18\) więc \(k=5\), no i znamy różnicę, czyli \(r=4\). Teraz wystarczy już tylko podstawić te dane do powyższego wzoru:
$$a_{8}=a_{5}+(8-5)\cdot r \\
a_{8}=a_{5}+3\cdot r \\
a_{8}=18+3\cdot4 \\
a_{8}=18+12 \\
a_{8}=30$$

Przykład 3. Wyznacz sumę dziesięciu pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego wiedząc, że \(a_{1}=6\) oraz \(a_{2}=8\).

Skorzystamy ze wzoru \(S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n\).
Do wyznaczenia sumy dziesięciu pierwszych wyrazów potrzebujemy zgodnie ze wzorem poznać wartość dziesiątego wyrazu \(a_{10}\). Musimy zatem na podstawie danych \(a_{1}=6\) oraz \(a_{2}=8\) wyznaczyć różnicę ciągu arytmetycznego, a następnie obliczymy potrzebną wartość \(a_{10}\).

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
W tym przypadku można różnicę ciągu wyliczyć praktycznie w pamięci, bo skoro pierwszy wyraz jest równy \(6\), a drugi jest równy \(8\), to widzimy że różnica jest równa \(8-6=2\). Gdyby jednak to nie było takie łatwe do wyznaczenia, to możemy skorzystać ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r \\
a_{2}=a_{1}+(2-1)\cdot r \\
a_{2}=a_{1}+1\cdot r \\
8=6+r \\
r=2$$

Krok 2. Obliczenie wartości dziesiątego wyrazu ciągu.
Ponownie skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu. Z treści zadania wiemy, że \(a_{1}=6\), a przed chwilą wyliczyliśmy, że \(r=2\), zatem dziesiąty wyraz będzie równy:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r \\
a_{10}=a_{1}+(10-1)\cdot r \\
a_{10}=a_{1}+9\cdot r \\
a_{10}=6+9\cdot2 \\
a_{10}=6+18 \\
a_{10}=24$$

Krok 3. Obliczenie sumy dziesięciu pierwszych wyrazów ciągu.
Teraz skoro znamy już wartość \(a_{10}=24\) to możemy skorzystać z głównego wzoru na sumę \(n\) pierwszych wyrazów ciągu:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{10}=\frac{a_{1}+a_{10}}{2}\cdot10 \\
S_{10}=\frac{6+24}{2}\cdot10 \\
S_{10}=\frac{30}{2}\cdot10 \\
S_{10}=15\cdot10 \\
S_{10}=150$$

Przykład 4. Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny którego trzema kolejnymi wyrazami są \(7, x, 19\). Wyznacz wartość \(x\).

Skorzystamy ze wzoru \(a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}\).
W naszym przypadku \(a_{1}=7, a_{2}=x\) oraz \(a_{3}=19\), zatem:
$$x=\frac{7+19}{2} \\
x=\frac{26}{2} \\
x=13$$

Dodaj komentarz