Czas T połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder danego izotopu

Czas $T$ połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder danego izotopu (a zatem i masa tego izotopu) zmniejsza się o połowę - tzn. połowa jąder danego izotopu przemienia się w inne jądra. Liczba jąder $N(t)$ izotopu promieniotwórczego pozostających w próbce po czasie $t$, licząc od chwili $t_{0}=0$, wyraża się zależnością wykładniczą:

$$N(t)=N_{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$$

gdzie $N_{0}$ jest liczbą jąder izotopu promieniotwórczego w chwili początkowej $t_{0}=0$.

Zadanie 1.

Na poniższych rysunkach 1.-4. przedstawiono wykresy różnych zależności.

Wykres zależności wykładniczej $N(t)$ - opisanej we wstępie do zadania - przedstawiono na

A. rysunku 1

B. rysunku 2

C. rysunku 3

D. rysunku 4

Zadanie 2.

Czas połowicznego rozpadu węgla $^{14}C$ to około $5700$ lat. Naukowcy oszacowali za pomocą datowania radiowęglowego, że masa izotopu węgla $^{14}C$ w pewnym organicznym znalezisku archeologicznym $\frac{1}{16}$ masy tego izotopu, jaka utrzymywała się podczas życia organizmu.

Oblicz, ile lat ma opisane znalezisko archeologiczne. Wynik podaj z dokładnością do stu lat.

Rozwiązanie

Zadanie 1.
Naszym zadaniem jest poprawne dopasowanie wykresu funkcji wykładniczej. I tu od razu nasz wzrok musimy kierować w stronę rysunku 1 oraz 3 - bowiem tak właśnie wyglądają wykresy funkcji wykładniczych typu $y=a^x$, gdy $0\lt a\lt1$ (w naszym przypadku $a=\frac{1}{2}$).

Ustalmy zatem teraz, który z tych wykresów jest prawidłowy. Widzimy wyraźnie, że sytuacja z trzeciego rysunku musi zostać przez nas odrzucona, ponieważ nasz wykres musi zaczynać się od punktu $(0;0)$ i to właśnie w tym momencie musimy mieć początkową liczbę jąder naszego izotopu. Na trzecim wykresie funkcja ta jest nieco przesunięta w prawo, przez co początkowa liczba jąder izotopu przypada na czas $\frac{1}{2}T$.

W związku z tym poprawnym wykresem jest jedynie ten z pierwszej odpowiedzi. Możemy to jeszcze sobie zweryfikować, widząc że dla czasu $T$ nasza funkcja przyjmuje połowę wartości $N_{0}$, a dla np. $2T$ przyjmuje jedną czwartą wartości $N_{0}$.

Zadanie 2.
Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie zapisać to w następujący sposób:
$m$ - początkowa masa izotopu węgla
$\frac{1}{2}m$ - masa izotopu węgla po upływie $1T$, czyli $5700$ lat
$\frac{1}{4}m$ - masa izotopu węgla po upływie $2T$, czyli $11400$ lat
$\frac{1}{8}m$ - masa izotopu węgla po upływie $3T$, czyli $17100$ lat
$\frac{1}{16}m$ - masa izotopu węgla po upływie $4T$, czyli $22800$ lat

To oznacza, że znalezisko archeologiczne ma $22800$ lat.

Odpowiedź

1. A
2. $22800$ lat