Ciąg an jest określony wzorem an=(n+3)(n-5) dla n≥1. Liczba ujemnych wyrazów

Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=(n+3)(n-5)\) dla \(n\ge1\). Liczba ujemnych wyrazów tego ciągu jest równa:

\(3\)
\(4\)
\(7\)
\(9\)
Rozwiązanie:
Krok 1. Zapisanie i rozwiązanie nierówności kwadratowej.

Chcąc sprawdzić dla jakich wartości \(n\) ciąg przyjmuje wartości ujemne musimy rozwiązać następującą nierówność kwadratową:
$$(n+3)(n-5)\lt0$$

Ta nierówność jest zapisana w postaci iloczynowej, zatem w bardzo łatwy sposób wyznaczymy jej miejsca zerowe – wystarczy przyrównać wartość każdego z nawiasów do zera:
$$n+3=0 \quad\lor\quad n-5=0 \\
n=-3 \quad\lor\quad n=5$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.

Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo przed przed \(n\) nie stoi żaden znak minusa. Zaznaczamy wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i szkicujemy wykres paraboli.

ciąg an jest określony wzorem an=(n+3)(n-5)

Krok 3. Odczytanie rozwiązania nierówności i interpretacja otrzymanego wyniku.

Interesują nas wartości ujemne, czyli znajdujące się pod osią, a więc rozwiązaniem naszej nierówności jest przedział \(x\in(-3;5)\).

Teraz musimy się zastanowić co ten wynik oznacza i jaka jest odpowiedź na nasze zadanie, bowiem pytają nas o to ile jest wyrazów ujemnych w tym ciągu. Musimy więc w otrzymanym rozwiązaniu uwzględnić jeszcze założenie wynikające z własności ciągów, czyli że \(n\) jest liczbą naturalną dodatnią. W związku z tym rozwiązaniami które nas interesują są jedynie:
$$x\in{1,2,3,4}$$

(Piątki nie uwzględniamy, bo nawias nie był domknięty).
To oznacza, że są tylko cztery wyrazy tego ciągu, które przyjmują ujemną wartość.

Odpowiedź:

B. \(4\)

Dodaj komentarz