Kąt alfa jest ostry i sin alfa+cos alfa=7/5. Oblicz wartość wyrażenia 2sin alfa cos alfa

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(sin\alpha+cos\alpha=\frac{7}{5}\). Oblicz wartość wyrażenia \(2sinα cosα\).

Rozwiązanie

Do zadania możemy podejść standardowo i korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy wyznaczyć wartości sinusa i cosinusa. Ale istnieje znacznie sprytniejszy sposób na poznanie wartości wyrażenia \(2sinα cosα\). Taki zapis powinien nam się kojarzyć ze wzorami skróconego mnożenia i to będzie właśnie klucz do rozwiązania zadania.

Jeżeli podniesiemy obie strony równania \(sin\alpha+cos\alpha=\frac{7}{5}\) do kwadratu, to otrzymamy:
$$(sinα+cosα)^2=\left(\frac{7}{5}\right)^2$$

Korzystając po lewej stronie ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), otrzymamy:
$$sin^2α+2sinα\cdot cosα+cos^2α=\frac{49}{25}$$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), zatem:
$$sin^2α+cos^2α+2sinα\cdot cosα=\frac{49}{25} \\
1+2sinα\cdot cosα=1\frac{24}{25} \\
2sinα\cdot cosα=\frac{24}{25}$$

Odpowiedź

\(\frac{24}{25}\)

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments