Zbiór wartości funkcji f(x)=(2a+b)x^2+(a+b-4)x-7 określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych

Zbiór wartości funkcji \(f(x)=(2a+b)x^2+(a+b-4)x-7\) określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) jest jednoelementowy. Wyznacz \(a\) i \(b\).

Rozwiązanie

Krok 1. Analiza podanej funkcji.
Z treści zadania wynika, że zbiór wartości naszej funkcji jest jednoelementowy. To oznacza, że dla każdego argumentu \(x\) funkcja przyjmuje jednakową wartość. Takie funkcje nazywamy stałymi, a ich przykładowymi wzorami mogą być np. \(y=3\) albo \(y=-5\).

Krok 2. Wyznaczenie wartości \(a\) oraz \(b\).
Nasza funkcja jest zapisana w postaci ogólnej \(f(x)=ax^2+bx+c\). Skoro nasza funkcja jest stała, to wartość współczynnika \(a\) oraz \(b\) musi być równa \(0\). I tu uwaga, bo dane z treści zadania są na tyle niefortunne, że bardzo łatwo jest o pomyłkę. To nie liczba \(a\) oraz \(b\) ma być równa \(0\), tylko współczynniki \(a\) oraz \(b\) muszą być równe \(0\). Mówiąc wprost - to co znajduje się przed iksem kwadrat oraz przed iksem musi być równe \(0\). Skoro tak, to powstaną nam dwa równania z których da się zbudować układ równań:
\begin{cases}
2a+b=0 \\
a+b-4=0
\end{cases}

\begin{cases}
b=-2a\\
a+b-4=0
\end{cases}

Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$a+(-2a)-4=0 \\
a-2a-4=0 \\
-a-4=0 \\
a=-4$$

Podstawiając teraz \(a=-4\) do wybranego równania obliczymy wartość \(b\):
$$b=-2a \\
b=-2\cdot(-4) \\
b=8$$

Odpowiedź

\(a=-4\) oraz \(b=8\)

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments