Zakupiono 16 biletów do teatru, w tym 10 biletów na miejsca od 1. do 10. w pierwszym rzędzie i 6 biletów

Zakupiono $16$ biletów do teatru, w tym $10$ biletów na miejsca od $1.$ do $10.$ w pierwszym rzędzie i $6$ biletów na miejsca od $11.$ do $16.$ w szesnastym rzędzie. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że $2$ wylosowane bilety, spośród szesnastu, będą biletami na sąsiadujące miejsca?

Rozwiązanie:

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.

Zadanie już na samym początku może sprawiać problemy (zwłaszcza jeśli chodzi o samo zrozumienie treści), dlatego zastanówmy się jakie pary biletów moglibyśmy zakupić. Każdy bilet ma numer od $1$ do $16$ (na razie nie patrzymy na to jakie to są rzędy). Pierwszej osobie możemy dać bilet na $16$ różnych sposobów (bo dostanie numer od $1$ do $16$). Drugiej osobie możemy dać bilet na $15$ sposobów (bo jeden damy wcześniej innej osobie). Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwości będziemy mieć:
$$|Ω|=16\cdot15=240$$

Jeśli nie umiemy sobie wyobrazić tej sytuacji, to możemy sobie, że pierwszy bilet dostaje Jaś, a drugi dostaje Małgosia, więc mamy następujące możliwości rozmieszczenia dzieci na sali kinowej:
$$(1,2), (1,3), (1,4)… (1,16) \\
(2,1), (2,3), (2,4)… (2,16) \\
… \\
(16,1), (16,2), (16,3)… (16,15)$$

Otrzymaliśmy $16$ różnych wierszy, a w każdym wierszu jest $15$ różnych możliwości (bo wykluczają nam się zdublowane opcje typu $(1,1), (2,2)$ itd.). Łącznie jest ich więc $16\cdot15=240$.

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.

Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której numery biletów są sąsiadujące (czyli wtedy kiedy Jaś siedzi obok Małgosi). Wypiszmy sobie wszystkie pary, które spełniałyby warunki zadania. Zwróć uwagę, że jeśli Jaś siedzi na $1.$ miejscu, a Małgosia na $2.$ miejscu (czyli $(1,2)$) to jest to zupełnie inne zdarzenie niż Jaś siedzący na $2.$ miejscu i Małgosia siedząca na $1.$ miejscu (zdarzenie $(2,1)$). Zatem:
W pierwszym rzędzie sprzyjającymi zdarzeniami będą:
$$(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7), (7,8), (8,9), (9,10) \\
(2,1), (3,2), (4,3), (5,4), (6,5), (7,6), (8,7), (9,8), (10,9)$$

W szesnastym rzędzie sprzyjającymi zdarzeniami będą:
$$(11,12), (12,13), (13,14), (14,15), (15,16) \\
(12,11), (13,12), (14,13), (15,14), (16,15)$$

Łącznie wszystkich zdarzeń sprzyjających mamy: $|A|=28$.

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{28}{240}=\frac{7}{60}$$

Odpowiedź:

$P(A)=\frac{7}{60}$