Egzamin ósmoklasisty (termin dodatkowy) - Matematyka - 2020

Poniżej znajduje się egzamin ósmoklasisty z matematyki (CKE – lipiec 2020 – termin dodatkowy). Jest to arkusz interaktywny, co oznacza że możesz na nim zaznaczać odpowiedzi, otrzymując na koniec nie tylko wynik, ale także wskazanie poprawnych i błędnych odpowiedzi. Jeżeli chcesz tylko przejrzeć zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku lub też pobrać ten arkusz w formie pliku PDF, to na dole strony znajdziesz stosowne linki. Powodzenia!

Uwaga! Nie uzupełniłeś jeszcze wszystkich zadań.
Napewno chcesz zakończyć test?

Egzamin ósmoklasisty (termin dodatkowy) 2020 - matematyka

Arkusz zawiera 15 zadań zamkniętych oraz 6 zadań otwartych. Łącznie do zdobycia jest 30 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to około 100 minut.

Zadanie 1. (1pkt) W tabeli przedstawiono fragment cennika, który obowiązuje w wypożyczalni gier planszowych „Świat Gier”.
egzamin ósmoklasisty

W tej wypożyczalni Janek wypożyczył jedną grę rodzinną i dwie gry logiczne na siedem dni. Janek za wypożyczenie tych gier zapłacił:

$21 zł$

$30 zł$

$36 zł$

$51 zł$

$52 zł$

Zadanie 2. (1pkt) Dane są trzy wyrażenia arytmetyczne:
I. $75,5\cdot2-7\cdot6,99$
II. $(4,6+5,5)\cdot10$
III. $0,26\cdot400$
Które spośród tych wyrażeń mają wartość większą od $100$?

Tylko I i II

Tylko I i III

Tylko II i III

I, II, III

Zadanie 3. (1pkt) W sklepie obniżono o $15\%$ ceny wszystkich książek. Zosia wybrała książkę, która przed obniżką kosztowała $45 zł$. Ile zapłaci Zosia za tę książkę?

$40,50 zł$

$39,75 zł$

$38,25 zł$

$30,00 zł$

Zadanie 4. (1pkt) Na osi liczbowej między liczbami $\left(-\frac{2}{6}\right)$ oraz $\left(-\frac{1}{6}\right)$ znajduje się liczba:

$-\frac{1}{4}$

$-\frac{1}{3}$

$-\frac{5}{12}$

$-\frac{1}{2}$

Zadanie 5. (1pkt) Piechur i kolarz wyruszyli naprzeciw siebie na spotkanie tą samą drogą. Droga, która ich dzieliła, miała długość $48 km$. Piechur wyszedł o $8:00$ i szedł ze stałą prędkością $4\frac{km}{h}$. Kolarz wyjechał o $10:00$ i jechał ze stałą prędkością $16\frac{km}{h}$.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

O godzinie $10:30$ piechura i kolarza dzieliła droga o długości $30 km$.

Piechur i kolarz spotkają się o godzinie $12:00$.

Zadanie 6. (1pkt) W pewnej klasie przeprowadzono ankietę na temat liczby rodzeństwa uczniów tej klasy. Okazało się, że $44\%$ liczby uczniów ma siostrę, $72\%$ - brata, a $4$ uczniów ma i siostrę, i brata. Każdy uczeń tej klasy ma rodzeństwo. Ilu uczniów brało udział w ankiecie?

$25$

$14$

$11$

$7$

Zadanie 7. (1pkt) Zależność drogi od czasu i przyśpieszenia w ruchu jednostajnie przyśpieszonym (gdy prędkość początkowa jest równa $0$) opisuje wzór:
$$s=\frac{at^2}{2}$$
gdzie $s$ - droga, $t$ - czas, $a$ - przyśpieszenie.

Przyśpieszenie $a$ poprawnie wyznaczone z tego wzoru można opisać równaniem:

$a=\frac{st^2}{2}$

$a=\frac{t^2}{2s}$

$a=\frac{2s}{t^2}$

$a=2st^2$

Zadanie 8. (1pkt) Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Wartość wyrażenia $(-2)^4:(-2)^3$ jest równa $\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}$.

$-2$

$2$

Wartość wyrażenia $(-2)^2\cdot(-2)^3$ jest równa $\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}$.

$(-4)^5$

$(-2)^5$

Zadanie 9. (1pkt) Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Wartość wyrażenia $\sqrt{36+64}$ jest równa $\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}$.

$10$

$14$

Wartość wyrażenia $\sqrt{1+\frac{9}{16}}$ jest równa $\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}$.

$1\frac{1}{4}$

$1\frac{3}{4}$

Zadanie 10. (1pkt) Wśród $180$ uczniów dojeżdżających do szkoły przeprowadzono ankietę. Uczniowie odpowiadali na pytanie, z jakiego środka transportu korzystają w drodze do szkoły. Każdy uczeń wskazał jeden środek transportu. Otrzymano następujące wyniki:
· $30\%$ uczniów dojeżdża tramwajem (T),
· $\frac{1}{4}$ uczniów - autobusem (A),
· co piąty - rowerem (R),
· a pozostali - samochodem (S).

Na którym diagramie przedstawiono wyniki tej ankiety?

Zadanie 11. (1pkt) Na drewnianej kostce w kształcie sześcianu zaznaczono punkty $K$ i $L$ tak, jak na rysunku.
egzamin ósmoklasisty

Po ścianach tej kostki od punktu $K$ do punktu $L$ przeszła mrówka. Na której z poniższych siatek sześcianu przedstawiono trasę, której nie mogła pokonać mrówka?

Zadanie 12. (1pkt) Uczniowie klasy 8a utworzyli jeden szereg, a uczniowie klasy 8b - drugi. W obu szeregach chłopcy i dziewczęta stali na przemian: chłopiec - dziewczyna - chłopiec - dziewczyna itd. W klasie 8a na pierwszym i ostatnim miejscu stali chłopcy, a w klasie 8b na pierwszym i ostatnim miejscu stały dziewczęta. W klasie 8a jest $12$ dziewcząt, a w klasie 8b jest o dwóch chłopców mniej niż w klasie 8a.

Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

W klasie 8a jest $\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}$ chłopców.

$11$

$13$

W klasie 8b jest $\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}$ uczniów.

$21$

$23$

Zadanie 13. (1pkt) Krótsza przekątna trapezu prostokątnego dzieli go na dwa trójkąty prostokątne równoramienne.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wysokość trapezu i krótsza podstawa trapezu mają taką samą długość.

Wysokość trapezu jest równa połowie dłuższej podstawy trapezu.

Zadanie 14. (1pkt) W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym $30°$ suma długości krótszej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej jest równa $12 cm$.

Dłuższa przyprostokątna tego trójkąta ma długość:

$4\sqrt{2}cm$

$4\sqrt{3}cm$

$6cm$

$8cm$

Zadanie 15. (1pkt) Na rysunku przedstawiono czworokąt $ABCD$, który podzielono na dwa trójkąty. Długości boków otrzymanych trójkątów opisano za pomocą wyrażeń algebraicznych. Obwód trójkąta $ABC$ jest równy $31$.
egzamin ósmoklasisty

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Odcinek $AC$ jest o $4$ jednostki dłuższy od odcinka $CD$.

Obwód trójkąta $ACD$ jest równy $23$.

Zadanie 16. (2pkt) Trzy proste przecinają się w punktach $A$, $B$ i $C$ tak, jak pokazano na rysunku. Odcinki $AC$ i $BC$ są równej długości. Wykaż, że miara kąta $α$ stanowi połowę miary kąta $β$.
egzamin ósmoklasisty
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy ułożysz równanie typu $\beta=180°-2\alpha$ lub $\alpha+\alpha+\gamma=\beta+\gamma$.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli odcinki $AC$ i $BC$ są równej długości, to trójkąt $ABC$ jest równoramienny. W trójkątach równoramiennych kąty przy podstawie mają jednakową miarę, więc $|\sphericalangle CAB|=\alpha$. Dodatkowo oznaczmy sobie kąt $ACB$ jako $\gamma$ i mamy taką oto sytuację:
egzamin ósmoklasisty

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Skoro suma miar kątów w trójkącie $ACB$ jest równa $180°$, a kąty przy podstawie mają miarę $\alpha$, to:
$$2\alpha+\gamma=180°$$

Do miary kąta $ACB$ możemy też podejść z innej perspektywy. Kąt $\beta$ oraz kąt $ACB$ są kątami przyległymi. To prowadzi nas do wniosku, że:
$$\beta+\gamma=180°$$

Porównując teraz otrzymane dwa zapisy wyjdzie nam, że:
$$2\alpha+\gamma=\beta+\gamma \\
2\alpha=\beta \\
\alpha=\frac{1}{2}\beta$$

W ten sposób udało nam się wykazać, że kąt $\alpha$ stanowi połowę miary kąta $\beta$.

Zadanie 17. (2pkt) Czworokąt $ABCD$ jest trapezem. Podstawa $AB$ została przedłużona do punktu $E$. Długości niektórych odcinków w tym czworokącie opisano na rysunku.
egzamin ósmoklasisty

Pole trapezu $ABCD$ jest trzy razy większe od pola trójkąta $BEC$. Oblicz długość odcinka $BE$. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie, pozwalające obliczyć długość odcinka $BE$ (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole trójkąta $BEC$, które jest równe $6$.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie pola trapezu.
Korzystając ze wzoru na pole trapezu możemy zapisać, że:
$$P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h \\
P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot(7+5)\cdot3 \\
P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot12\cdot3 \\
P_{ABCD}=6\cdot3 \\
P_{ABCD}=18$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka $BE$.
Pole trójkąta $BEC$ jest trzy razy mniejsze, czyli $P_{BEC}=18:3=6$. Skoro tak, to:
$$P_{BEC}=\frac{1}{2}ah \\
6=\frac{1}{2}\cdot|BE|\cdot3 \\
6=1,5|BE| \\
|BE|=4$$

Zadanie 18. (2pkt) Rada rodziców na nagrody dla dwóch klas ósmych przeznaczyła $1080 zł$. W klasie $8a$ jest $32$ uczniów, a w klasie $8b$ jest $28$ uczniów. Pieniądze podzielono proporcjonalnie do liczby uczniów w danej klasie. Oblicz kwotę, jaką każda z klas otrzymała na nagrody. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz kwotę przypadającą na jedną osobę.
ALBO
• Gdy zastosujesz poprawny sposób obliczenia kwoty, którą otrzyma jedna z klas, ale np. popełnisz błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Łącznie w obydwu klasach liczba uczniów wynosi:
$$32+28=60$$

Skoro mamy $1080zł$ do podziału pomiędzy $60$ uczniów, to na każdego ucznia przypada:
$$1080zł:60=18zł$$

To oznacza, że klasa 8a otrzyma:
$$32\cdot18zł=576zł$$

Natomiast 8b otrzyma:
$$28\cdot18zł=504zł$$

Zadanie 19. (3pkt) Do pracowni komputerowej kupiono $6$ myszek bezprzewodowych i $6$ myszek przewodowych. Cena myszki bezprzewodowej była o $11 zł$ wyższa od ceny myszki z przewodem. Za zakup wszystkich myszek zapłacono $234 zł$. Ile najwięcej myszek bezprzewodowych można by kupić za tę kwotę? Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zastosujesz poprawny sposób obliczenia ceny myszki bezprzewodowej lub przewodowej (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz łączny koszt zakupu myszki bezprzewodowej i przewodowej.
2 pkt
• Gdy obliczysz cenę myszki bezprzewodowej (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zastosujesz poprawny sposób obliczenia liczby myszek bezprzewodowych, ale otrzymasz błędny wynik ze względu na błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy sobie do zadania proste oznaczenia:
$x$ - cena myszki przewodowej
$x+11$ - cena muszki bezprzewodowej

Krok 2. Obliczenie ceny myszki bezprzewodowej.
Zakupiono $6$ myszek bezprzewodowych i $6$ myszek przewodowych i wydano na nie $234zł$. Możemy więc ułożyć następujące równanie:
$$6\cdot x+6\cdot(x+11)=234 \\
6x+6x+66=234 \\
12x=168 \\
x=14$$

Wiemy więc, że myszka przewodowa kosztuje $14zł$, czyli tym samym myszka bezprzewodowa kosztuje $14zł+11zł=25zł$.

Krok 3. Ustalenie, ile myszek bezprzewodowych można zakupić.
Celem naszego zadania jest obliczenia jaka jest maksymalna liczba myszek bezprzewodowych, które można zakupić za podaną kwotę. Skoro mamy do wydania $234zł$, a myszka bezprzewodowa kosztuje $25zł$, to takich myszek możemy zakupić:
$$234:25=9,36\approx9$$

To oznacza, że można kupić $9$ myszek bezprzewodowych.

Zadanie 20. (3pkt) Dwa jednakowe prostopadłościany, każdy o wymiarach $5 cm$, $7 cm$ i $9 cm$, sklejono tak, jak pokazano na rysunku.
egzamin ósmoklasisty

Oblicz pole powierzchni całkowitej powstałej bryły. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zastosujesz poprawny sposób obliczenia pola powierzchni prostopadłościanu o bokach $5cm$, $7cm$ oraz $9cm$.
2 pkt
• Gdy zastosujesz poprawny sposób obliczenia pola powierzchni całej bryły, ale otrzymasz błędny wynik ze względu na błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni całkowitego pojedynczego prostopadłościanu.
Możemy oczywiście liczyć pole powierzchni całkowitej fragmentami (dodając pola poszczególnych ścian i ich wycinków), aczkolwiek istnieje nieco sprytniejszy sposób. Pole powierzchni całkowitej tej sklejonej bryły będzie równa polu powierzchni dwóch naszych prostopadłościanów, a całość będzie pomniejszona o pole dwóch ścian (a w zasadzie o jedną całą ścianę i jeden jej fragment), które się ze sobą stykają.

Pole powierzchni pojedynczego prostopadłościanu jest równe:
$$P_{c}=2\cdot(ab+ac+bc) \\
P_{c}=2\cdot(5\cdot7+5\cdot9+7\cdot9) \\
P_{c}=2\cdot(35+45+63) \\
P_{c}=2\cdot143 \\
P_{c}=286$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej powstałej bryły.
Mamy dwa takie prostopadłościany, zatem suma ich pól powierzchni będzie równa $2\cdot286cm^2=572cm^2$.

Od sumy pól powierzchni dwóch prostopadłościanów musimy odjąć dwa pola powierzchni o wymiarach $5cm\times7cm$, którymi sklejone są te dwie bryły. Pole powierzchni naszej bryły będzie więc równe:
$$P_{c}=572-2\cdot5\cdot7 \\
P_{c}=572-70 \\
P_{c}=502$$

Zadanie 21. (3pkt) Pani Maria w 2015 roku łącznie zarobiła $43 740 zł$. W każdym miesiącu od stycznia do września włącznie otrzymywała pensję tej samej wysokości. W październiku otrzymała podwyżkę, po której miesięcznie zarabiała $3780 zł$. Oblicz, o ile procent wzrosła miesięczna pensja pani Marii po podwyżce. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zastosujesz poprawny sposób obliczenia wysokości miesięcznych zarobków w 9 początkowych miesiącach (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy zastosujesz poprawny sposób obliczenia podwyżki zarobków w ostatnim kwartale roku, ale otrzymasz błędny wynik ze względu na błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wypiszmy kluczowe informacje zawarte w zadaniu:
$x$ - miesięczna pensja (przez pierwsze 9 miesięcy)
$3780$ - miesięczna pensja (przez pozostałe 3 miesiące roku)

Krok 2. Obliczenie miesięcznej pensji (od stycznia do września).
Skoro przez $9$ miesięcy Pani Maria otrzymywała pensję $x$, a przez $3$ miesiące pensję $3780zł$ i w ciągu roku dało to łącznie $43740zł$, to:
$$9x+3\cdot3780=43740 \\
9x+11340=43740 \\
9x=32400 \\
x=3600$$

Krok 3. Obliczenie procentowego wzrostu pensji.
Skoro Pani Maria zarabia teraz $3780zł$, a zarabiała $3600zł$, to jej pensja wzrosła o:
$$3780-3600=180$$

Musimy teraz obliczyć, o ile procent wzrosła miesięczna pensja. Skoro Pani Maria zarabiała $3600zł$ i od tej kwoty dostała $180zł$ podwyżki, to ta podwyżka stanowi:
$$\frac{180}{3600}\cdot100\%=5\%$$

To oznacza, że pensja Pani Marii wzrosła o $5\%$.

Zdobyłeś/aś: 0/30pkt

Zobacz swój test

Popraw test

Zobacz także odpowiedzi oraz arkusz PDF:

Egzamin ósmoklasisty z matematyki 2020 (termin dodatkowy) – Odpowiedzi

Egzamin ósmoklasisty z matematyki 2020 (termin dodatkowy) – PDF