Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego an, określonego dla n≥1, jest równy 34

Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\), jest równy \(34\), a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa \(110\). Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Rozwiązanie

Krok 1. Ułożenie układu równań
Korzystając ze wzoru ogólnego na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{9}=a_{1}+8r \\
a_{1}+8r=34$$

To będzie nasze pierwsze równanie z którego zbudujemy układ równań. Drugie równanie będzie wynikać z informacji na temat sumy ośmiu początkowych wyrazów:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{8}=\frac{a_{1}+a_{8}}{2}\cdot8 \\
110=\frac{a_{1}+a_{8}}{2}\cdot8 \\
110=(a_{1}+a_{8})\cdot4 \quad\bigg/:4 \\
a_{1}+a_{8}=27,5 \\
a_{1}+a_{1}+7r=27,5 \\
2a_{1}+7r=27,5$$

To oznacza, że możemy stworzyć następujący układ równań:
$$\begin{cases}
a_{1}+8r=34 \\
2a_{1}+7r=27,5
\end{cases}$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań i wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Najprościej będzie zastosować tutaj metodę podstawiania, wyznaczając wartość \(a_{1}\) z pierwszego równania:
$$\begin{cases}
a_{1}=34-8r \\
2a_{1}+7r=27,5
\end{cases}$$

Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$2\cdot(34-8r)+7r=27,5 \\
68-16r+7r=27,5 \\
68-9r=27,5 \\
-9r=-40,5 \\
r=4,5$$

Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając wartość \(r=4,5\) możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu, podstawiając wyliczoną różnicę do jednego z wyznaczonych równań:
$$a_{1}=34-8r \\
a_{1}=34-8\cdot4,5 \\
a_{1}=34-36 \\
a_{1}=-2$$

To oznacza, że \(a_{1}=-2\) oraz \(r=4,5\).

Odpowiedź

\(a_{1}=-2\) oraz \(r=4,5\)

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments