W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), ma współrzędne \((5,-3)\). Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią \(Ox\) układu współrzędnych ma współrzędne \((4,0)\).

matura z matematyki



Zadanie 1.

Zapisz poniżej zbiór wszystkich wartości funkcji \(f\).



Zadanie 2.

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej \(f\) w postaci kanonicznej.

Rozwiązanie

Rozwiązanie 1.
Zbiór wartości odczytujemy z osi \(Oy\). Widzimy, że funkcja przyjmuje wartości od \(-3\) do nieskończoności, czyli zapisalibyśmy, że \(Y=\langle-3;+\infty)\).

Rozwiązanie 2.
Postać kanoniczną zapisujemy jako \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Z rysunku odczytujemy, że w naszym przypadku \(W=(5;-3)\), zatem:
$$f(x)=a(x-5)^2+(-3) \\
f(x)=a(x-5)^2-3$$

Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\). Aby poznać jego wartość, musimy do wyznaczonego przed chwilą wzoru, podstawić współrzędne jakiegoś znanego punktu (innego niż wierzchołek). Przykładowo, widzimy że funkcja przechodzi przez punkt \(A=(4;0)\), zatem:
$$0=a(4-5)^2-3 \\
0=a(-1)^2-3 \\
0=a-3 \\
a=3$$

To oznacza, że pełnym wzorem funkcji w postaci kanonicznej będzie \(f(x)=3(x-5)^2-3\).

Odpowiedź

1. \(\langle-3;\infty)\)
2. \(f(x)=3(x-5)^2-3\)

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments