Pierwiastki – zadania (egzamin ósmoklasisty)

A

Do zadania najprościej jest podejść odpowiadając sobie na pytanie jakimi pierwiastkami są liczby zapisane w odpowiedziach. Przykładowo biorąc pierwszy przedział mamy:
$$10=\sqrt{100}\text{ oraz }11=\sqrt{121}$$

I już na podstawie tej pary widzimy, że nasz pierwiastek \(\sqrt{120}\) jest dokładnie pomiędzy tymi wartościami.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą, bo:
$$\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}\approx2\cdot2,236$$

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest prawdą, bo
$$\sqrt{500}=\sqrt{100\cdot5}=10\sqrt{5}\approx10\cdot2,236\approx22,36$$

C

Z treści zadania wynika, że liczby \(k, l, m\) oraz \(n\) są liczbami całkowitymi. Nie musi to oznaczać, że podziałka jest co 1 jednostkę, choć za chwilę sobie udowodnimy, że tak właśnie jest.

Wartość \(\sqrt{41}\) to nieco więcej niż \(\sqrt{36}\) (które jest równe \(6\)) i nieco mniej niż \(\sqrt{49}\) (które jest równe \(7\)). Wartość \(\sqrt{41}\) to w przybliżeniu coś w okolicy \(6,5\). Skoro tak i skoro jedna z podanych liczb jest równa \(0\), to znaczy, że podziałka jest na pewno równa \(1\) (gdyby było inaczej, to żadna z liczb \(k, l, m, n\) nie byłaby równa \(0\)).

To prowadzi nas do wniosku, że sytuacja na osi wygląda następująco:


W związku z tym liczbę \(0\) oznaczono na osi jako \(m\).

B, C

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Wiemy, że \(\sqrt{121}=11\). To oznacza, że\( \sqrt{125}\gt11\), czyli wartość wyrażenia \(\sqrt{125}-1\) jest nieco większa od \(10\).

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Warto zauważyć, że \(2,5\cdot2,5=6,25\)/ Skoro tak, to \(\sqrt{6}\) jest nieco mniejsze od \(2,5\), a to oznacza, że \(4\sqrt{6}\) jest nieco mniejsze od \(10\). Wynika z tego, że wyrażenie \(4\sqrt{6}-10\) daje ujemny wynik.

A

Wiemy, że \(\sqrt{9}=3\) oraz że \(\sqrt{16}=4\), zatem \(\sqrt{10}\) to będzie nieco więcej niż \(3\) i znacznie mniej niż \(4\).

W zadaniu mamy liczbę \(-\sqrt{10}\) (czyli około \(-3\)), do której dodajemy \(5\). Możemy więc wywnioskować, że ta suma będzie równa około \(2\), zatem wynik jest na pewno większy od \(1\).

D

Kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie, że:
\(\sqrt{35}\) to mniej niż \(6\), bo \(\sqrt{36}=6\)
\(\sqrt{17}\) to więcej niż \(4\), bo \(\sqrt{16}=4\)
\(\sqrt{48}\) to mniej niż \(7\), bo \(\sqrt{49}=7\)
\(\sqrt{26}\) to więcej niż \(5\), bo \(\sqrt{25}=5\)

W związku z tym:
\(4+\sqrt{35}\) to nieco mniej niż \(10\).
\(6+\sqrt{17}\) to nieco więcej niż \(10\).
\(17-\sqrt{48}\) to nieco więcej niż \(10\).
\(15-\sqrt{26}\) to nieco mniej niż \(10\).

Wyrażenia mniejsze od \(10\) to zatem I oraz IV.

B

Obliczmy wartość każdego z wyrażeń:
$$(2\sqrt{3})^2=2^2\cdot(\sqrt{3})^2=4\cdot3=12 \\
2\sqrt{2}\cdot4\sqrt{2}=8\cdot2=16 \\
\frac{4\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{18}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{36}}{2}=\frac{4\cdot6}{2}=12$$

Mniejsze od \(15\) są więc wyrażenia pierwsze oraz trzecie.

D

Aby rozwiązać ten pierwiastek musimy dobrze rozbić liczby, które pod tym pierwiastkiem się znalazły. Naszym celem jest więc doprowadzenie do tego, by jak najwięcej liczb pod tym pierwiastkiem dało się spierwiastkować pierwiastkiem trzeciego stopnia:
$$\sqrt[3]{81\cdot64}=\sqrt[3]{27\cdot3\cdot8\cdot8}= \\
=3\cdot2\cdot2\cdot\sqrt[3]{3}=12\sqrt[3]{3}$$

A, C

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Aby obliczyć wartość tego pierwiastka, musimy najpierw wykonać dodawanie pod pierwiastkiem, a dopiero potem obliczyć jego wartość, zatem:
$$\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Krok 2. Rozwiązanie pierwszej drugiej zadania.
I tu podobnie jak przed chwilą - najpierw musimy wykonać dodawanie pod pierwiastkiem, zatem:
$$\sqrt{1+\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$$

B, C

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Nie możemy obliczyć oddzielnie pierwiastka z \(1\) i pierwiastka z \(\frac{25}{144}\), a potem tych wartości do siebie dodać! Liczby po pierwiastkiem musimy do siebie dodać, a dopiero potem obliczymy wartość pierwiastka:
$$\sqrt{1+\frac{25}{144}}=\sqrt{\frac{144}{144}+\frac{25}{144}}=\sqrt{\frac{169}{144}}=\frac{13}{12}=1\frac{1}{12}$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Analogicznie postępujemy w tym drugim przykładzie:
$$\sqrt[3]{3+\frac{3}{8}}=\sqrt[3]{\frac{24}{8}+\frac{3}{8}}=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$$

E

Krok 1. Obliczenie wartości każdej z liczb.
Aby ustalić, które zdanie jest fałszywe, obliczymy wartość każdej z podanych liczb:
\(a=(-2)^2=4 \\
b=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \\
c=\frac{1}{2}(3-5)^2=\frac{1}{2}\cdot(-2)^2=\frac{1}{2}\cdot4=2 \\
d=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}=2,5\)

Krok 2. Ocena prawdziwości poszczególnych odpowiedzi.
Sprawdźmy teraz poprawność każdej z odpowiedzi.
Odp. A. - faktycznie, wszystkie liczby są dodatnie
Odp. B. - liczba \(b\) jest jak najbardziej większa od \(c\)
Odp. C. - liczba \(c\) jest rzeczywiście dwa razy mniejsza niż liczba \(a\)
Odp. D. - liczba \(d\) jest faktycznie 2 razy mniejsza niż liczba \(b\)
Odp. E. - liczba \(c\) jest mniejsza (a nie większa) niż liczba \(d\)

Fałszywa było więc ostatnie zdanie.

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
$$\sqrt[3]{8}-3=2-3=-1$$

Liczby ujemne nie są liczbami naturalnymi, więc pierwsze zdanie jest nieprawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
$$\sqrt[3]{64}-\sqrt{25}=4-5=-1$$

To oznacza, że drugie zdanie jest prawdą.

B

Do zadania można podejść na różne sposoby. Jeśli chcemy zacząć od wykonania odejmowania w nawiasie, to musimy odpowiednio wyłączyć czynniki przed znak pierwiastka. Całość wyglądałaby następująco:
$$\sqrt{3}(\sqrt{27}-\sqrt{12})=\sqrt{3}\cdot(\sqrt{9\cdot3}-\sqrt{4\cdot3})= \\
=\sqrt{3}\cdot(3\sqrt{3}-2\sqrt{3})=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$$

Równie dobrym pomysłem byłoby wymnożenie \(\sqrt{3}\) przez wartości w nawiasie:
$$\sqrt{3}(\sqrt{27}-\sqrt{12})=\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}-\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}= \\
=\sqrt{3\cdot27}-\sqrt{3\cdot12}=\sqrt{81}-\sqrt{36}=9-6=3$$

A

$$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{75}\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{4\cdot3}}{\sqrt{225}}=\frac{2\sqrt{3}}{15}$$

B, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Chcąc obliczyć jaka liczba jest o \(2\) większa od liczby \(3\sqrt{2}-4\) musimy wykonać następujące działanie:
$$3\sqrt{2}-4+2=3\sqrt{2}-2$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Chcąc obliczyć jaka liczba jest \(2\) razy większa od liczby \(3\sqrt{2}-4\) musimy wykonać następujące działanie:
$$2\cdot(3\sqrt{2}-4)=6\sqrt{2}-8$$