Pierwiastki – zadania (egzamin ósmoklasisty)

A

Do zadania najprościej jest podejść odpowiadając sobie na pytanie jakimi pierwiastkami są liczby zapisane w odpowiedziach. Przykładowo biorąc pierwszy przedział mamy:
$$10=\sqrt{100}\text{ oraz }11=\sqrt{121}$$

I już na podstawie tej pary widzimy, że nasz pierwiastek \(\sqrt{120}\) jest dokładnie pomiędzy tymi wartościami.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą, bo:
$$\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}\approx2\cdot2,236$$

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest prawdą, bo
$$\sqrt{500}=\sqrt{100\cdot5}=10\sqrt{5}\approx10\cdot2,236\approx22,36$$

C

Krok 1. Wyznaczenie najdłuższego boku.
Musimy ustalić która z podanych długości jest największa:
$$2\sqrt{3}\approx2\cdot1,73\approx3,46 \\
3\sqrt{2}\approx3\cdot1,41\approx4,23 \\
\sqrt{3}\approx1,73$$

Najdłuższa jest więc miara \(3\sqrt{2}\) i to będzie odcinek \(c\). Dwie pozostałe miary to odcinki \(a\) oraz \(b\) (w dowolnej już kolejności).

Krok 2. Obliczenie wartości \(a^2+b^2\).
Sprawdźmy zatem jaki wynik da nam suma kwadratów odcinków \(a\) oraz \(b\):
$$(2\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2=4\cdot3+3=12+3=15$$

Krok 3. Analiza otrzymanego wyniku.
Sumę kwadratów obliczoną w drugim kroku musimy przyrównać do kwadratu odcinka \(c\). Długość odcinka \(c\) podniesiona do kwadratu da nam wartość:
$$(3\sqrt{2})^2=9\cdot2=18$$

Z naszych obliczeń wynika \(a^2+b^2\lt c^2\), bo \(15\lt18\) zatem ten trójkąt jest rozwartokątny.

D

Aby rozwiązać ten pierwiastek musimy dobrze rozbić liczby, które pod tym pierwiastkiem się znalazły. Naszym celem jest więc doprowadzenie do tego, by jak najwięcej liczb pod tym pierwiastkiem dało się spierwiastkować pierwiastkiem trzeciego stopnia:
$$\sqrt[3]{81\cdot64}=\sqrt[3]{27\cdot3\cdot8\cdot8}= \\
=3\cdot2\cdot2\cdot\sqrt[3]{3}=12\sqrt[3]{3}$$

B

Obliczmy wartość każdego z wyrażeń:
$$(2\sqrt{3})^2=2^2\cdot(\sqrt{3})^2=4\cdot3=12 \\
2\sqrt{2}\cdot4\sqrt{2}=8\cdot2=16 \\
\frac{4\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{18}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{36}}{2}=\frac{4\cdot6}{2}=12$$

Mniejsze od \(15\) są więc wyrażenia pierwsze oraz trzecie.

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
$$\sqrt[3]{8}-3=2-3=-1$$

Liczby ujemne nie są liczbami naturalnymi, więc pierwsze zdanie jest nieprawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
$$\sqrt[3]{64}-\sqrt{25}=4-5=-1$$

To oznacza, że drugie zdanie jest prawdą.

A

$$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{75}\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{4\cdot3}}{\sqrt{225}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$$