Matura podstawowa Błąd bezwzględny i względny – zadania maturalne Uwaga! Zadania z tego działu nie obowiązują na maturze 2021 :) Błąd bezwzględny i względny - zadania Zadanie 1. (1pkt) Liczba \(0,6\) jest jednym z przybliżeń liczby \(\frac{5}{8}\). Błąd względny tego przybliżenia wyrażony w procentach jest równy: A) \(0,025\%\) B) \(2,5\%\) C) \(0,04\%\) D) \(4\%\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź D Wyjaśnienie: Aby obliczyć błąd względny musimy posłużyć się następującym wzorem: $$δ=\frac{|x-x_{o}|}{x}$$ W naszym przykładzie: $$x=\frac{5}{8}=0,625 \\ x_{o}=0,6 \\ \text{więc} \\ δ=\frac{|0,625-0,6|}{0,625} \\ δ=\frac{0,025}{0,625} \\ δ=0,04=4\%$$ Zadanie 2. (1pkt) Liczba \(15\) jest przybliżeniem z niedomiarem liczby \(x\). Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy \(0,24\). Liczba \(x\) to: A) \(14,76\) B) \(14,80\) C) \(15,20\) D) \(15,24\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź D Wyjaśnienie: Liczba \(15\) jest przybliżeniem z niedomiarem, czyli na pewno poszukiwana przez nas liczba \(x\) jest większa od \(15\). Skoro więc błąd bezwzględny wyniósł \(0,24\), to nasza liczba \(x\) jest równa: $$x=15+0,24=15,24$$ Zadanie 3. (2pkt) W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat. $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} \text{Kolejne lata} & \text{1} & \text{2} & \text{3} & \text{4} & \text{5} & \text{6} \\ \hline \text{Przyrost [w cm]} & \text{10} & \text{10} & \text{7} & \text{8} & \text{8} & \text{7} \end{array} $$ Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do \(1cm\). Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach. Odpowiedź Wyjaśnienie Punktacja Odpowiedź Średni roczny przyrost wyniósł w zaokrągleniu \(8cm\). Błąd względny przybliżenia wyniósł \(4\%\). Wyjaśnienie: Krok 1. Obliczenie średniego rocznego przyrostu. Średni przyrost obliczymy dokładnie tak jak zwykłą średnią arytmetyczną. Pamiętaj o tym, by na końcu zaokrąglić wynik do \(1cm\). $$\overline{x}=\frac{10+10+7+8+8+7}{6}=\frac{50}{6}=8\frac{1}{3}\approx8[cm]$$ Krok 2. Obliczenie błędu względnego otrzymanego przybliżenia. Błąd względny naszego przybliżenia z pierwszego kroku obliczymy w następujący sposób: $$δ=\frac{|x-x_{0}|}{x}$$ \(δ\) - błąd względny pomiaru \(x\) - dokładna wartość, czyli \(x=8\frac{1}{3}\) \(x_{0}\) - przybliżona wartość, czyli \(x_{0}=8\) Musimy ten błąd wyrazić w procentach, dlatego pomnożymy sobie wszystko przez \(100\%\). Podstawiając odpowiednie dane otrzymamy: $$δ=\frac{|8\frac{1}{3}-8|}{8\frac{1}{3}}\cdot100\% \\ δ=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{25}{3}}\cdot100\% \\ δ=\frac{1}{25}\cdot100\% \\ δ=4\%$$ Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie: 0 pkt • Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania. 1 pkt • Gdy obliczysz średni roczny przyrost sosny (patrz: Krok 1.). ALBO • Gdy błędnie obliczysz średni roczny przyrost, ale konsekwentnie do tego błędu obliczysz błąd względny (patrz: Krok 2.). 2 pkt • Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
