Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste \(a,b,c\) spełniają nierówności \(0\lt a\lt b\lt c\), to \(\frac{a+b+c}{3}\gt\frac{a+b}{2}\).
Rozwiązanie:
Krok 1. Przekształcenie podanej nierówności.
Spróbujmy przekształcić tę nierówność, tak aby móc wyciągnąć z niej jakieś wnioski. Zacznijmy od usunięcia postaci ułamka:
$$\frac{a+b+c}{3}\gt\frac{a+b}{2} \quad\bigg/\cdot6 \\
2a+2b+2c\gt3a+3b \\
2c\gt a+b \\
c+c\gt a+b$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanej nierówności.
Skoro liczba \(c\) jest największa spośród wszystkich niewiadomych, to możemy być pewni, że para liczb \(c+c\) jest większa od pary liczb \(a+b\). Dowód można uznać za zakończony.
Odpowiedź:
Udowodniono na podstawie przekształcenia nierówności do postaci \(c+c\gt a+b\).
