Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo jest działem w którym obliczamy szanse na zaistnienie jakiegoś badanego zdarzenia losowego. W pewnym sensie prawdopodobieństwo jest wartością czysto teoretyczną, bo jeżeli przykładowo prawdopodobieństwo wyrzucenia orła przy rzucie monetą wynosi \(\frac{1}{2}\) to nie oznacza, że na \(10\) rzutów dokładnie \(5\) będzie z orłem. Nie mniej jednak im więcej razy będziemy powtarzać nasze zdarzenie losowe tym bardziej będziemy zbliżać się do naszej wartości teoretycznej. Przykładowo: jeżeli rzucimy sześć razy tradycyjną kostką do gry, to może się zdarzyć że np. szóstka wypadnie dwa lub trzy razy, a jedynka nie wypadnie ani razu, mimo iż prawdopodobieństwo wylosowania szóstki i jedynki jest przecież takie same. Natomiast w dużej próbie (np. rzucając \(1000\) razy) procentowy udział jedynek i szóstek będzie niemalże identyczny.

Warto też pamiętać, że prawdopodobieństwo może przyjmować wartość od \(0\) do \(1\). Prawdopodobieństwo równe \(0\) oznacza, że takie zdarzenie po prostu nie zajdzie. Prawdopodobieństwo równe \(1\) oznacza, że dane zdarzenie zawsze zajdzie.
Im wyższa wartość prawdopodobieństwa (czyli im bliżej jedynki), tym większe szanse na zajście danego zdarzenia. Jeżeli w trakcie obliczeń wyjdzie nam prawdopodobieństwo większe od \(1\), to znaczy że popełniliśmy błąd.

Aby obliczyć prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia musimy:
• określić ile jest wszystkich możliwych zdarzeń, czyli jaka jest tak zwana moc zbioru \(|Ω|\)
• określić ile jest zdarzeń sprzyjających, czyli jaka jest tak zwana moc zbioru \(|A|\)

Znając te dwie wartości obliczymy prawdopodobieństwo korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}$$

\(P(A)\) – prawdopodobieństwo
\(|A|\) – liczba zdarzeń sprzyjających
\(|Ω|\) – liczba wszystkich możliwych zdarzeń

Przykład 1. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania czwórki na tradycyjnej sześciennej kostce.

Na początku ustalamy ile jest wszystkich możliwych zdarzeń jakie możemy otrzymać podczas rzutu kostką. Rzucając kostką może nam wypaść jeden z sześciu wyników: \(1,2,3,4,5,6\). Matematycznie zapisujemy więc, że \(|Ω|=6\).

Teraz musimy obliczyć ile jest zdarzeń sprzyjających. Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja opisana w treści zadania, czyli w tym przypadku wylosowanie czwórki. Interesuje nas zatem tylko jeden konkretny wynik, stąd też \(|A|=1\).

Na koniec obliczamy prawdopodobieństwo:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{1}{6}$$

Przykład 2. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania wyższego wyniku niż 4 na tradycyjnej sześciennej kostce.

Co się zmieni w naszym zadaniu względem poprzedniego? Na pewno nie zmieni się liczba możliwych zdarzeń – tutaj cały czas możemy wylosować jeden z sześciu wyników: \(1,2,3,4,5,6\). W związku z tym \(|Ω|=6\).

Zmieni się natomiast liczba zdarzeń sprzyjających. Teraz zdarzeniem sprzyjającym są wyniki większe od \(4\), czyli konkretnie rzecz ujmując interesują nas wyniki: \(5,6\). Są to więc dwie możliwości, zatem \(|A|=2\).

Na koniec obliczamy prawdopodobieństwo:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

Przykład 3. Ze zbioru liczb od \(1\) do \(16\) losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez \(5\).

Na początku jak zwykle musimy ustalić ile jest wszystkich zdarzeń. Skoro możemy losujemy liczby ze zbioru od \(1\) do \(16\), to \(|Ω|=16\).

Ustalmy teraz jakie zdarzenia będą zdarzeniami sprzyjającymi. Z naszego zbioru podzielne przez \(5\) są tylko: \(5,10,15\). Są to więc trzy liczby, zatem \(|A|=3\).

Na koniec obliczamy prawdopodobieństwo:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{16}$$

W powyższych przykładach prawdopodobieństwo było dość proste do wyliczenia, bo nie mieliśmy żadnych problemów z określeniem liczby wszystkich występujących zdarzeń oraz liczby zdarzeń sprzyjających. W szkole średniej jednak możemy się spotkać z przykładami nieco trudniejszymi, gdzie obliczenie jakiejś informacji będzie wymagało od nas zastosowania wiedzy zdobytej w dziale kombinatoryka (na poziomie podstawowym będzie to przede wszystkim reguła mnożenia).

Przykład 4. Rzucamy trzema sześciennymi kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania trzech jednakowych wyników?

Trzema kostkami, zatem będziemy mieć wyniki typu \((2,3,6), (1,1,5), (6,4,2)\) itd. Musimy ustalić ile takich kombinacji jesteśmy w stanie ułożyć, czyli ile jest wszystkich zdarzeń elementarnych. Skoro na każdej z trzech kostek może wypaść jedna z sześciu wartości, to zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwych kombinacji będziemy mieć:
$$|Ω|=6\cdot6\cdot6=216$$

Teraz musimy ustalić ile jest zdarzeń sprzyjających. Sprzyjającym zdarzeniem jest wylosowanie trzech jednakowych wyników, czyli:
$$(1,1,1), (2,2,2), (3,3,3), \\
(4,4,4), (5,5,5), (6,6,6)$$

Jest tylko sześć takich przypadków, zatem \(|A|=6\).

Na koniec musimy obliczyć prawdopodobieństwo:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{216}=\frac{1}{36}$$

Zobacz też: Reguła mnożenia

Dodaj komentarz