Przedziały liczbowe i zbiory - zadania
Zadanie 1. (1pkt) Zbiór rozwiązań nierówności \((x+1)(x-3)\gt0\) przedstawiony jest na rysunku:
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu \((x+1)(x-3)\).
Aby wyznaczyć miejsca zerowe wystarczy przyrównać wielomian \((x+1)(x-3)\) do zera. Wielomian jest podany w postaci iloczynowej, co znacznie upraszcza ustalenie miejsc zerowych, bo tak naprawdę musimy przyrównać do zera wartości w każdym z nawiasów, zatem:
$$(x+1)(x-3)=0 \\
x+1=0 \quad\lor\quad x-3=0 \\
x=-1 \quad\lor\quad x=3$$
Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą na pewno skierowane do góry, bo po wymnożeniu wartości w nawiasach otrzymamy \(x^2\), czyli współczynnik \(a\gt0\). Zaznaczamy na osi wyliczone miejsca zerowe. Kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\).
Krok 3. Odczytanie rozwiązania nierówności.
Poszukujemy wartości większych od zera, tak więc interesuje nas przedział \(x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)\). Taki zbiór został przedstawiony na trzecim rysunku i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.
Zadanie 3. (1pkt) Wskaż, który zbiór przedstawiony na osi liczbowej jest zbiorem liczb spełniających jednocześnie następujące nierówności: \(3(x-1)(x-5)\le0\) i \(x\gt1\).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Nasza nierówność jest podana w postaci iloczynowej, więc w bardzo łatwy sposób możemy obliczyć jej miejsca zerowe, bo wystarczy przyrównać poszczególne wartości w nawiasach do zera:
$$3(x-1)(x-5)=0 \\
x-1=0 \quad\lor\quad x-5=0 \\
x=1 \quad\lor\quad x=5$$
Krok 2. Szkicowanie paraboli przechodzącej przez wyznaczone miejsca zerowe.
Ramiona funkcji muszą być skierowane ku górze, bo współczynnik \(a\) stojący przed \(x^2\) po wykonaniu mnożenia wartości w nawiasach byłby na pewno dodatni. Pamiętajmy także o tym, by w tym przypadku punkty \(x=1\) oraz \(x=5\) były z zamalowaną kropką (bo w nierówności mieliśmy znak \(\le\)).
Krok 3. Odczytujemy przedział dla jakiego funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero.
Zgodnie z wykresem nasza funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero dla \(x\in\langle1;5\rangle\).
Krok 4. Interpretacja wyników i wybór właściwej odpowiedzi.
Wiemy już, że interesującym nas zbiorem liczbowym jest \(x\in\langle1;5\rangle\), ale wbrew pozorom to nie koniec rozwiązywania, bo musimy jeszcze uwzględnić informację z treści zadania, która mówi o tym, że \(x\gt1\). To oznacza, że "jedynka" z naszego zbioru nie spełnia już warunków zadania, tak więc interesującym nas zbiorem będzie \(x\in(1;5\rangle\). To oznacza, że prawidłowy jest wykres z trzeciej odpowiedzi.
Zadanie 4. (1pkt) Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór rozwiązań nierówności \(2(3-x)\gt x\).
Wyjaśnienie:
Musimy najpierw rozwiązać daną nierówność, a następnie wskazać rysunek z poprawnie zaznaczonym przedziałem:
$$2(3-x)\gt x \\
6-2x\gt x \\
6\gt3x \\
x\lt2$$
Taki przedział jest zaznaczony na czwartym rysunku i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.
Zadanie 5. (1pkt) Wskaż rysunek, na którym przedstawiono przedział, będący zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(-4\le x-1\le4\).
Wyjaśnienie:
Aby rozwiązać ten przykład wystarczy dodać \(1\) do każdej ze stron:
$$-4\le x-1\le4 \\
-4+1\le x-1+1\le4+1 \\
-3\le x\le5$$
Prawidłowym graficznym przedstawieniem tej nierówności jest więc trzeci rysunek.
Zadanie 6. (1pkt) Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich rozwiązań nierówności \(2-3x\ge4\).
Wyjaśnienie:
$$2-3x\ge4 \\
-3x\ge2 \quad\bigg/:(-3) \\
x\le-\frac{2}{3}$$
Pamiętaj, że dzieląc przez liczbę ujemną musimy zmienić znak nierówności.
Rozwiązanie naszej nierówności zostało więc przedstawione na czwartym rysunku.
Dziękuje ślicznie za przykładowe zadania czuję, że umiem już więcej :D
Dzięki
dziękuję serdecznie za stworzenie tej strony
Mega fajnie, że są zadania ze wszystkich działów
Dzień dobry. W zadaniu 1 przedział znajduję się poza parabolą a w zadaniu 3 przedział znajduje się w środku paraboli. Co o tym świadczy? Jak prawidłowo zaznaczyć takie przedziały? Skąd wiedzieć kiedy tak a kiedy tak zaznaczyć? Matematykę miałam 10 lat temu i nie pamiętam tego.
Patrzymy się na znak nierówności – jeśli mamy np. „mniejsze od zera”, to patrzymy kiedy wykres funkcji jest pod osią OX, a kiedy mamy „większe od zera” to zerkamy na to gdzie wykres jest nad osią. Przykładowo w tym pierwszym zadaniu mamy mieć większe od zera, więc interesują nas dwa fragmenty paraboli – ten od minus nieskończoności do -1 oraz od 3 do nieskończoności :)
już rozumiem :) właśnie tego mi brakowało bo cała reszta to nie problem. Byłam dobra z matematyki ale po tylu latach przerwy to jak nauka obcego języka. Coś tam kojarzę coś tam pamiętam że gdzieś jakieś wyjątki były i czekam na filmikach czy będzie ta informacja ;)
Cieszę się, że mogłem pomóc :) Na filmikach (z kursu maturalnego) także o tym wspominam – w dziale dotyczącym rozwiązywania równań kwadratowych ;)
jeszcze do tego nie dotarłam ;)
Dlaczego w zadaniu 8 nie będzie odpowiedzi B?
Ta odpowiedź byłaby dobra, gdyby znak nierówności był w druga stronę, czyli mielibyśmy „mniejsze równe 0” :)
Proszę mi wytłumaczyć dlaczego w zadaniu 4 został zmieniony znak równości? Nie zmienia się go tylko wtedy kiedy dzieli się przez liczbę ujemną?
Ale ten znak się tak naprawdę nie zmienił :) Po prostu jak mamy 6>3x, to jest to równe 2>x. Słownie powiedzielibyśmy, że x jest mniejszy od 2, co można zapisać „ładniej” jako x<2 :)