Punkty A=(-20,12) i B=(7,3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|

Punkty \(A=(-20,12)\) i \(B=(7,3)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Wierzchołek \(C\) leży na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) oraz obwód tego trójkąta.

Rozwiązanie

I sposób - porównując długości odcinków.
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Z treści zadania wynika, że długość odcinka \(AC\) jest dokładnie taka sama jak \(BC\) (są to ramiona naszego trójkąta równoramiennego). Możemy więc skorzystać ze wzoru na długość odcinka i zapisać, że w takim razie:
$$|AC|=|BC| \\
\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \quad\bigg/^2 \\
(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2=(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2 \\
(x_{C}-(-20))^2+(y_{C}-12)^2=(x_{C}-7)^2+(y_{C}-3)^2$$

Mamy równanie z dwoma niewiadomymi, ale z treści zadania wypływa jeszcze jedna ważna informacja - wierzchołek \(C\) leży na osi \(Oy\), a to oznacza, że współrzędna \(x_{C}\) na pewno jest równa \(0\). To umożliwia nam doprowadzenie całego zapisu do równania z jedną niewiadomą:
$$(0-(-20))^2+(y_{C}-12)^2=(0-7)^2+(y_{C}-3)^2 \\
20^2+(y_{C}-12)^2=(-7)^2+(y_{C}-3)^2 \\
400+{y_{C}}^2-24y_{C}+144=49+{y_{C}}^2-6y_{C}+9 \\
-24y_{C}+544=-6y_{C}+58 \\
-18y_{C}=-486 \\
y_{C}=27$$

W ten sposób błyskawicznie poznaliśmy brakującą współrzędną \(y\) naszego punktu \(C\), stąd też możemy zapisać, że \(C=(0;27)\).

Krok 2. Obliczenie długości boków trójkąta.
Znamy już wszystkie współrzędne wierzchołków trójkąta \(ABC\), zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy obliczyć miary każdego z boków. Obliczmy zatem długość podstawy \(AB\) oraz ramion \(AC\) i \(BC\) (ramiona będą miały tą samą długość).
Podstawa:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(7-(-20))^2+(3-12)^2} \\
|AB|=\sqrt{27^2+(-9)^2} \\
|AB|=\sqrt{729+81} \\
|AB|=\sqrt{810} \\
|AB|=\sqrt{81\cdot10} \\
|AB|=9\sqrt{10}$$

Ramię:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2} \\
|AC|=\sqrt{(0-(-20))^2+(27-12)^2} \\
|AC|=\sqrt{20^2+15^2} \\
|AC|=\sqrt{400+225} \\
|AC|=\sqrt{625} \\
|AC|=25$$

Ramiona mają jednakową długość, więc także \(|BC|=25\).

Krok 3. Obliczenie obwodu trójkąta.
Znając długości wszystkich boków możemy zapisać, że:
$$Obw=9\sqrt{10}+25+25 \\
Obw=50+9\sqrt{10}$$

II sposób - wyznaczając środek odcinka \(AB\) oraz równanie prostej \(AB\).
Ten sposób jest znacznie dłuższy, ale w podobnych zadaniach jest często jedynym, który pozwoli nam na dojście do prawidłowego rozwiązania.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na układ współrzędnych znane nam punkty \(A\) oraz \(B\) i sprawdźmy jak całość wygląda w rzeczywistości. Przy okazji warto zaznaczyć, że bok \(AB\) będzie podstawą naszego trójkąta.
matura z matematyki

Kluczem do sukcesu będzie oczywiście wykorzystanie własności trójkątów równoramiennych. Powinniśmy pamiętać, że wysokość takiego trójkąta przecina podstawę w połowie długości. To właśnie dzięki tej informacji będziemy mogli dotrzeć do współrzędnych punktu \(C\), a potem do długości poszczególnych boków.

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(AB\).
Korzystając ze wzoru na środek odcinka możemy zapisać, że:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right) \\
S=\left(\frac{-20+7}{2};\frac{12+3}{2}\right) \\
S=\left(\frac{-13}{2};\frac{15}{2}\right)$$

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\).
Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\), możemy bez problemu wyznaczyć współczynnik kierunkowy \(a\) prostej, która przez te punkty przechodzi. Znajomość tego współczynnika przyda nam się za chwilę do wyznaczenia prostej prostopadłej. W tym celu wystarczy skorzystać ze wzoru:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} \\
a=\frac{3-12}{7-(-20)} \\
a=\frac{-9}{27} \\
a=-\frac{1}{3}$$

Gdybyśmy o tym wzorze nie pamiętali, to współczynnik \(a\) wyznaczymy chociażby z metody układu równań (dzięki której możemy poznać wręcz pełne równanie prostej \(AB\)). W tym celu do postaci kierunkowej \(y=ax+b\) wystarczy podstawić najpierw współrzędne punktu \(A\), a potem \(B\), otrzymując:
\begin{cases}
12=-20a+b \\
3=7a+b
\end{cases}

Odejmując te równania stronami, otrzymamy:
$$9=-27a \\
a=-\frac{1}{3}$$

Moglibyśmy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\) i tym samym mielibyśmy cały wzór prostej \(AB\), ale nam to nie jest potrzebne. Wystarczy informacja, że \(a=-\frac{1}{3}\).

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej \(SC\).
Prosta \(SC\) jest wysokością trójkąta, czyli jest prostopadła do podstawy \(AB\). Z własności prostych prostopadłych wiemy, że aby dwie proste były względem siebie równoległe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro prosta \(AB\) ma \(a=-\frac{1}{3}\), to prosta \(SC\) musi mieć \(a=3\), ponieważ \(-\frac{1}{3}\cdot3=-1\). To oznacza, że prosta \(SC\) da się opisać równaniem \(y=3x+b\). Do pełni szczęścia brakuje nam jeszcze wartości współczynnika \(b\).

Chcąc poznać wartość współczynnika \(b\), wystarczy do równania \(y=3x+b\) podstawić współrzędne punktu, który przez tą prostą przechodzi, czyli współrzędne punktu \(S=\left(\frac{-13}{2};\frac{15}{2}\right)\). Otrzymamy zatem:
$$\frac{15}{2}=3\cdot\left(\frac{-13}{2}\right)+b \\
\frac{15}{2}=\frac{-39}{2}+b \\
b=\frac{54}{2}=27$$

To oznacza, że prosta \(SC\) wyraża się równaniem \(y=3x+27\).

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Wiemy już, że punkt \(C\) leży na osi \(OY\), czyli wiemy, że współrzędna \(x=0\). Wyliczyliśmy sobie przed chwilą, że ten punkt musi leżeć na prostej \(y=3x+27\). To oznacza, że brakująca współrzędna \(y\) będzie równa:
$$y=3\cdot0+27 \\
y=27$$

Wyszło nam więc, że \(C=(0;27)\).

Krok 6. Obliczenie długości boków trójkąta.
Znamy już wszystkie współrzędne wierzchołków trójkąta \(ABC\), zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy obliczyć miary każdego z boków. Obliczmy zatem długość podstawy \(AB\) oraz ramion \(AC\) i \(BC\) (ramiona będą miały tą samą długość).
Podstawa:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(7-(-20))^2+(3-12)^2} \\
|AB|=\sqrt{27^2+(-9)^2} \\
|AB|=\sqrt{729+81} \\
|AB|=\sqrt{810} \\
|AB|=\sqrt{81\cdot10} \\
|AB|=9\sqrt{10}$$

Ramię:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2} \\
|AC|=\sqrt{(0-(-20))^2+(27-12)^2} \\
|AC|=\sqrt{20^2+15^2} \\
|AC|=\sqrt{400+225} \\
|AC|=\sqrt{625} \\
|AC|=25$$

Ramiona mają jednakową długość, więc także \(|BC|=25\).

Krok 7. Obliczenie obwodu trójkąta.
Znając długości wszystkich boków możemy zapisać, że:
$$Obw=9\sqrt{10}+25+25 \\
Obw=50+9\sqrt{10}$$

Odpowiedź

\(C=(0;27)\) oraz \(Obw=50+9\sqrt{10}\)

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments