Równanie \(\frac{x-1}{x+1}=x-1\):
ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=1\)
ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=0\)
ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=-1\)
ma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=0, x=1\)
Rozwiązanie:
Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Musimy zapisać założenia wynikające z tego, że mianownik nie może być równy \(0\) (bo nie można dzielić przez \(0\)). Zatem \(x\neq-1\). To wbrew pozorom ważny krok, bo choć akurat w przypadku tego zadania nie wpłynie on na wynik, to czasem może on wpłynąć na ostateczny wynik.
Krok 2. Rozwiązanie równania.
$$\frac{x-1}{x+1}=x-1 \quad\bigg/\cdot(x+1) \\
x-1=(x-1)\cdot(x+1) \\
x-1=x^2-1^2 \\
x-1=x^2-1 \\
x^2-x=0 \\
x(x-1)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=1$$
To oznacza, że równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=1\).
Odpowiedź:
D. ma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=0, x=1\)
