Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Nowa Era 2020
Arkusz maturalny zawiera 25 zadań zamkniętych oraz 9 zadań otwartych. Łącznie do zdobycia jest 50 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 170 minut.
Zadanie 1. (1pkt) Dany jest ułamek dziesiętny nieskończony okresowy \(0,1(2345)\). Na setnym miejscu po przecinku znajduje się w nim cyfra:
Zadanie 2. (1pkt) Liczba przeciwna do liczby \(\begin{split}\frac{(-2)^3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{-5}}{(\sqrt{8})^6}\end{split}\) jest równa:
Zadanie 3. (1pkt) Cenę pewnego towaru podwyższono o \(20\%\), następnie otrzymaną w ten sposób nową cenę obniżono o \(20\%\). Cena końcowa jest:
Zadanie 4. (1pkt) Liczba \(\frac{1}{\sqrt{3}-2}-\frac{1}{\sqrt{3}+2}\) jest równa:
Zadanie 5. (1pkt) Kwotę \(5000zł\) ulokowano w banku na lokacie oprocentowanej \(3\%\) w stosunku rocznym, z odsetkami kapitalizowanymi co rok. Przy każdej kapitalizacji od odsetek pobiera się podatek w wysokości \(19\%\). Kwota lokaty po dwóch latach wyniesie:
Zadanie 6. (1pkt) Zbiorem rozwiązań nierówności \(2x\cdot(x+3)\le0\) jest:
Zadanie 7. (1pkt) Układ równań liniowych \(\begin{cases}2x-3y=-1 \\ -6x+ay=3\end{cases}\) z niewiadomymi \(x\) i \(y\) ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy:
Zadanie 8. (1pkt) Równanie \((x^2-1)\cdot(x^2+5x)=0\) ma:
Zadanie 9. (1pkt) Liczba \(a=2,2\) jest przybliżeniem z nadmiarem liczby \(x\). Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy \(0,004\), gdy:
Zadanie 10. (1pkt) Przyjmijmy, że \(log3=a\). Wtedy:
Zadanie 11. (1pkt) Funkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=2x+b\) osiąga wartości dodatnie tylko wtedy, gdy \(x\gt-2\). Punkt przecięcia wykresu funkcji \(f\) z osią \(OY\) to:
Zadanie 12. (1pkt) W symetrii osiowej względem osi \(OY\) obrazem wykresu funkcji liniowej \(f(x)=-\frac{1}{3}(x+1)+\frac{4}{3}\) jest prosta opisana równaniem:
Zadanie 13. (1pkt) Wskaż wzór funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest przedział \((-\infty,-2\rangle\).
Zadanie 14. (1pkt) W pewnym trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest trzy razy dłuższa od jednej z przyprostokątnych. Wartość cosinusa mniejszego kąta ostrego tego trójkąta jest równa:
Zadanie 15. (1pkt) Na rysunku dany jest wykres funkcji \(y=f(x)\), której dziedziną jest zbiór \(D\).
Wskaż zdanie prawdziwe.
Zadanie 16. (1pkt) Ciąg \((a_{n})\) dany jest wzorem \(a_{n}=(5-n)\cdot(n+3)\) dla wszystkich liczb naturalnych \(n\ge1\). Liczba dodatnich wyrazów tego ciągu jest równa:
Zadanie 17. (1pkt) Liczby: \(1, a+1, 9\) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny tylko wtedy, gdy:
Zadanie 18. (1pkt) Okrąg o środku \(S=(1,-2)\) przechodzi przez punkt \(P=(-1,2)\). Średnica tego okręgu ma długość:
Zadanie 19. (1pkt) Prosta \(y=-3x+4\) jest prostopadła do prostej o równaniu:
Zadanie 20. (1pkt) W trójkącie \(ABC\) kąty o wierzchołkach \(A\) i \(B\) mają - odpowiednio - miary \(30°\) i \(45°\), a wysokość opuszczona na bok \(AB\) ma długość \(4\). Długość boku \(AB\) tego trójkąta wynosi:
Zadanie 21. (1pkt) Punkty \(A, B, C\) leżą na okręgu o środku \(O\) (jak na rysunku), przy czym krótszy z łuków \(AB\) stanowi \(\frac{2}{5}\) okręgu.
Suma miar kątów \(AOB\) i \(ACB\) jest równa:
Zadanie 22. (1pkt) Przekrój osiowy walca jest kwadratem. Jeśli pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe \(P_{c}\), a pole jego powierzchni bocznej jest równe \(P_{b}\), to:
Zadanie 23. (1pkt) Przekątna podstawy ostrosłupa czworokątnego prawidłowego jest dwa razy dłuższa od jego wysokości. Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy w tym ostrosłupie ma miarę:
Zadanie 24. (1pkt) Średnia arytmetyczna zestawu sześciu danych: \(2, 3, 4, 5, 6, x\) jest równa \(4\). Mediana tego zestawu wynosi:
Zadanie 25. (1pkt) W pewnej klasie liczba dziewcząt jest trzy razy większa od liczby chłopców. Z tej klasy wybieramy losowo jedną osobę. Prawdopodobieństwo wylosowania chłopca jest równe:
Zadanie 26. (2pkt) Wyznacz zbiór wszystkich argumentów \(x\), dla których wartości funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(x)=-4x^2+x+5\) są większe od wartości funkcji \(g\) określonej wzorem \(g(x)=-4x+6\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe (patrz: Krok 2.), a w dalszej części zadania popełnisz błędy.
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
ALBO
• Gdy wyznaczysz punkty przecięcia się wykresów obydwu funkcji: \(A=\left(\frac{1}{4};5\right)\) oraz \(B=(1;2)\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ułożenie nierówności kwadratowej.
Chcemy się dowiedzieć kiedy wartości funkcji \(f(x)\) są większe od wartości funkcji \(g(x)\), czyli chcemy sprawdzić kiedy:
$$f(x)\gt g(x) \\
-4x^2+x+5\gt-4x+6$$
Przenosząc teraz wyrazy na lewą stronę otrzymamy następującą sytuację:
$$-4x^2+5x-1\gt0$$
Powstała nam więc klasyczna nierówność kwadratowa, którą teraz musimy rozwiązać.
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Rozwiązywanie nierówności zaczniemy od wyznaczenia miejsc zerowych. Musimy więc sprawdzić kiedy \(-4x^2+5x-1\) jest równe \(0\). Z pomocą przyjdzie nam tutaj oczywiście niezawodna delta:
Współczynniki: \(a=-4,\;b=5,\;c=-1\)
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot(-4)\cdot(-1)=25-16=9 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-3}{2\cdot(-4)}=\frac{-8}{-8}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+3}{2\cdot(-4)}=\frac{-2}{-8}=\frac{1}{4}$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny, a to oznacza, że parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=1\) oraz \(x=\frac{1}{4}\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę:
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki większe od zera, zatem patrzymy się na to co znalazło się nad osią. Ze szkicu paraboli wynika, że w takiej sytuacji rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:
$$x\in\left(\frac{1}{4};1\right)$$
Zadanie 27. (2pkt) W trójkącie prostokątnym \(ABC\) dane są wierzchołki \(A=(-2,0)\) i \(B=(8,0)\). Punkt \(C\) jest wierzchołkiem kąta prostego tego trójkąta i leży na osi \(OY\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając ze wzoru na długość odcinka zapiszesz równanie z jedna niewiadomą (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy korzystając z warunku prostopadłości prostych otrzymasz równanie w postaci \(\frac{c}{2}\cdot\left(-\frac{c}{8}\right)=-1\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie układ współrzędnych i zaznaczmy na nim dane z treści zadania, pamiętając o tym, by punkt \(C\) znajdował się na osi \(OY\):
I tu bardzo ważna obserwacja, która będzie kluczowa dla całego zadania - współrzędna iksowa punktu \(C\) jest równa \(0\). Możemy sobie nawet zapisać, że \(C=(0;y_{C})\).
Krok 2. Obliczenie długości boków trójkąta \(ABC\).
Obliczmy teraz długość każdego z boków naszego trójkąta \(ABC\). Najprościej przyjdzie nam wyliczenie długości boku \(AB\), bo tu od razu po rysunku szkicowym widzimy, że obydwa te punkty są na osi iksów, więc nawet po kratkach jesteśmy w stanie stwierdzić, że \(|AB|=10\).
Teraz przystąpmy do liczenia trudniejszych boków, zaczynając od \(AC\). Wiemy, że \(A=(-2,0)\) oraz \(C=(0;y_{C})\), zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać, że:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2} \\
|AC|=\sqrt{(0-(-2))^2+(y_{C}-0)^2} \\
|AC|=\sqrt{2^2+{y_{C}}^2} \\
|AC|=\sqrt{4+{y_{C}}^2}$$
Analogicznie obliczymy długość odcinka \(BC\), wiedząc że \(B=(8,0)\) oraz \(C=(0;y_{C})\):
$$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\
|BC|=\sqrt{(0-8)^2+(y_{C}-0)^2} \\
|BC|=\sqrt{(-8)^2+{y_{C}}^2} \\
|BC|=\sqrt{64+{y_{C}}^2}$$
Krok 3. Obliczenie współrzędnej \(y_{C}\).
Mając rozpisane wszystkie długości boków możemy teraz skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
$$|AC|^2+|BC|^2=|AB|^2 \\
\left(\sqrt{4+{y_{C}}^2}\right)^2+\left(\sqrt{64+{y_{C}}^2}\right)^2=10^2 \\
4+{y_{C}}^2+64+{y_{C}}^2=100 \\
2{y_{C}}^2+68=100 \\
2{y_{C}}^2=32 \\
{y_{C}}^2=16 \\
y_{C}=4 \quad\lor\quad y_{C}=-4$$
Krok 4. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Otrzymaliśmy dwa możliwe rozwiązania i obydwa są prawidłowe. To oznacza, że istnieją dwie możliwości zapisania współrzędnych punktu \(C\) i będą to \(C=(0;4)\) lub \(C=(0;-4)\). Można więc powiedzieć, że ten nasz trójkąt może wyglądać tak jak na rysunku szkicowym lub też może być odbiciem lustrzanym względem osi iksów.
Zadanie 28. (2pkt) Doświadczenie losowe polega na jednoczesnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry i dwiema symetrycznymi monetami. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania na kostce liczby oczek podzielnej przez \(3\), a na monetach - co najmniej jednego orła.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Rzucając kostką możemy otrzymać jeden z sześciu wyników (od \(1\) do \(6\)). Rzucając pojedynczą monetą możemy uzyskać jeden z dwóch wyników - orła lub reszkę. Skoro doświadczenie polega na rzucie kostką i dwiema monetami, to korzystając z reguły mnożenia możemy zapisać, że wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć:
$$|Ω|=6\cdot2\cdot2=24$$
Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest wylosowanie na kostce liczby podzielnej przez \(3\), a na monetach przynajmniej jednego orła. Rozpatrzmy więc to sobie po kolei.
Jeżeli chcemy, aby na kostce wypadła liczba podzielna przez \(3\), to musi nam wypaść \(3\) lub \(6\). Mamy więc dwie możliwości.
Jeżeli chcemy, aby na monetach wypadł przynajmniej jeden orzeł, to interesują nas trzy warianty: \((OR), (RO)\) lub \((OO)\). Mamy więc takie trzy możliwości.
Korzystając więc z reguły mnożenia wyjdzie nam, że zdarzeń sprzyjających będziemy mieć:
$$|A|=2\cdot3=6$$
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$$
Zadanie 29. (2pkt) Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) zachodzi nierówność \(x^2+y^2+11\gt2x+6y\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymasz nierówność \((x-1)^2+(y-3)^2+1\gt0\), ale nie udowodnisz dlaczego lewa strona równania jest większa od zera.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Na początek spróbujmy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, otrzymując:
$$x^2+y^2+11-2x-6y\gt0 \\
x^2-2x+y^2-6y+11\gt0$$
Teraz najtrudniejsza część zadania, która nie ma co ukrywać - wymaga od nas sprawnego wykorzystywania wzorów skróconego mnożenia. Musimy zwinąć odpowiednie wyrazy w taki sposób, by otrzymać kwadrat sumy, czyli postać \((a+b)^2\) lub kwadrat różnicy, czyli postać \((a-b)^2\). Trudność tego zadania jest tym większa, że takiego "zwinięcia" będziemy musieli dokonać dwukrotnie, a jakby tego było mało, to dodatkowo będziemy musieli rozbić liczbę \(11\) na sumę \(9+1+1\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$x^2-2x+y^2-6y+11\gt0 \\
x^2-2x+1+y^2-6y+9+1\gt0 \\
(x^2-2x+1)+(y^2-6y+9)+1\gt0 \\
(x-1)^2+(y-3)^2+1\gt0$$
Wiemy, że jakakolwiek liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik większy lub równy \(0\), stąd też na pewno \((x-1)^2\) jest większe lub równe \(0\) oraz \((y-3)^2\) jest także większe lub równe \(0\). Dodatkowe \(+1\) sprawia, że wyrażenie po lewej stronie na pewno jest większe od zera i to należało właśnie udowodnić.
Zadanie 30. (2pkt) W równoległoboku \(ABCD\) punkt \(E\) jest środkiem boku \(BC\). Przez punkty \(A\) i \(E\) poprowadzono prostą przecinającą prostą \(DC\) w punkcie \(F\) (jak na rysunku). Uzasadnij, że pole równoległoboku \(ABCD\) jest równe polu trójkąta \(AFD\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy uzasadnisz, że trójkąty \(ABE\) oraz \(EFC\) są przystające (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy uzasadnisz, że trójkąty \(AFD\) oraz \(EFC\) są podobne w skali podobieństwa \(k=\frac{1}{2}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Dostrzeżenie przystawania trójkątów.
Powinniśmy dostrzec, że trójkąty \(ABE\) oraz \(EFC\) są przystające. Skąd to wiemy? Na pewno kąty \(AEB\) oraz \(CEF\) są jednakowej miary (bo są to kąty wierzchołkowe). Kąty \(EBA\) oraz \(ECF\) także są jednakowej miary, bo są to kąty naprzemianległe. Dodatkowo wiemy, że punkt \(E\) jest środkiem odcinka \(BC\), czyli odcinek \(BE\) ma taką samą długość co \(CE\).
Z tej powyższej analizy wynika, że w trójkątach \(ABE\) oraz \(EFC\) mamy dwie pary jednakowych kątów i jedną parę boków o jednakowej długości. Zgodnie więc z cechą kąt-bok-kąt jesteśmy w stanie stwierdzić, że te trójkąty są nie tylko podobne, ale wręcz przystające (czyli są to tak naprawdę jednakowe trójkąty). To z kolei oznacza, że trójkąt \(EFC\) ma jednakowe pole powierzchni co trójkąt \(ABE\), stąd też właśnie duży trójkąt \(AFD\) ma jednakowe pole powierzchni, co równoległobok \(ABCD\).
Zadanie 31. (2pkt) Prosta o równaniu \(x=-2\) jest osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax^2-8x+c\). Punkt \(P=(2,2)\) należy do wykresu tej funkcji. Wyznacz współczynniki \(a\) i \(c\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartość współczynnika \(a\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(-2=\frac{8}{2a}\) (patrz: Krok 2.) oraz że \(2=-2\cdot2^2-8\cdot2+c\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli.
Z własności parabol wiemy, że oś symetrii przechodzi dokładnie przez wierzchołek paraboli.
To z kolei oznacza, że skoro prosta o równaniu \(x=-2\) jest osią symetrii, to współrzędna \(p\) wierzchołka naszej paraboli będzie równa \(p=-2\).
Krok 2. Obliczenie wartości współczynnika \(a\).
Skorzystamy ze wzoru na współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli, czyli ze wzoru \(p=\frac{-b}{2a}\). Ze wzoru funkcji \(f(x)=ax^2-8x+c\) możemy odczytać, że \(b=8\), zatem:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
-2=\frac{-(-8)}{2a} \\
-2=\frac{8}{2a} \\
-4a=8 \\
a=-2$$
To oznacza, że nasza funkcja przyjmie postać \(f(x)=-2x^2-8x+c\). Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze wartości współczynnika \(c\).
Krok 3. Obliczenie wartości współczynnika \(c\).
Do poznania wartości współczynnika \(c\) posłuży nam informacja o tym, że punkt \(P=(2,2)\) należy do wykresu tej funkcji. Podstawiając współrzędne tego punktu do wyznaczonej już w poprzednim kroku postaci wzoru ze współczynnikiem \(a\) otrzymamy:
$$f(x)=-2x^2-8x+c \\
2=-2\cdot2^2-8\cdot2+c \\
2=-2\cdot4-8\cdot2+c \\
2=-8-16+c \\
2=-24+c \\
c=26$$
W treści zadania prosili nas o wyznaczenie współczynnika \(a\) oraz \(c\), zatem możemy zapisać, że \(a=-2\) oraz \(c=26\).
Zadanie 32. (4pkt) W ciągu ośmiu dni rowerzysta pokonał trasę \(236km\). Poczynając od drugiego dnia, przejeżdżał codziennie o \(3km\) mniej niż w dniu poprzednim. Ile kilometrów przejechał pierwszego dnia, a ile - ósmego? Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz kluczowe dane na temat ciągu arytmetycznego (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy stosując wzór na \(S_{8}\) w ciągu arytmetycznym zapiszesz poprawne równanie z jedną niewiadomą (patrz: Krok 2.), które potem błędnie rozwiążesz.
ALBO
• Gdy stosując inną metodę (np. ręcznego dodawania ośmiu kolejnych wyrazów) otrzymasz równanie z jedną niewiadomą.
3 pkt
• Gdy obliczysz wartość pierwszego wyrazu ciągu (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Dostrzeżenie ciągu arytmetycznego.
Idea tego zadania polega na tym, by dostrzec iż mamy tutaj styczność z ciągiem arytmetycznym. Zapiszmy kluczowe parametry tego ciągu, które wynikają z treści zadania.
Skoro każdego dnia pokonywana trasa jest o \(3km\) krótsza, to na pewno \(r=-3\). Wiemy też, że podroż trwała \(8\) dni, zatem \(n=8\). I na koniec możemy jeszcze zapisać, że suma tych wszystkich pokonanych tras przez \(8\) dni była równa \(236km\), czyli że \(S_{8}=236\).
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Aby obliczyć wartość pierwszego wyrazu, czyli \(a_{1}\), skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Podstawiając do tego wzoru wypisane przed chwilą dane otrzymamy:
$$S_{8}=\frac{2a_{1}+(8-1)\cdot(-3)}{2}\cdot8 \\
236=\frac{2a_{1}+7\cdot(-3)}{2}\cdot8 \\
236=\frac{2a_{1}-21}{2}\cdot8 \\
236=(2a_{1}-21)\cdot4 \\
2a_{1}-21=59 \\
2a_{1}=80 \\
a_{1}=40$$
To oznacza, że pierwszego dnia rowerzysta pokonał trasę \(40km\).
Krok 3. Obliczenie wartości ósmego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Musimy jeszcze obliczyć długość pokonanej trasy ósmego dnia. W tym celu pomoże nam wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Podstawiając \(a_{1}=40\), \(r=-3\) oraz \(n=8\) (bo szukamy wartości ósmego wyrazu) otrzymamy:
$$a_{8}=a_{1}+(8-1)r \\
a_{8}=a_{1}+7r \\
a_{8}=40+7\cdot(-3) \\
a_{8}=40-21 \\
a_{8}=19$$
To oznacza, że ósmego dnia rowerzysta pokonał trasę \(19km\).
Zadanie 33. (4pkt) W trapezie równoramiennym suma długości podstaw wynosi \(20\). Pole tego trapezu jest równe \(80\), a tangens jego kąta ostrego wynosi \(\frac{4}{3}\). Oblicz długości podstaw trapezu.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość trapezu (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy korzystając z tangensa zapiszesz poprawne równanie (patrz Krok 3.). Dopuszcza się nawet zapis z dwiema niewiadomymi typu \(\frac{4}{3}=\frac{8}{\frac{a-b}{2}}\).
3 pkt
• Gdy doprowadzisz do sytuacji w której masz równanie z jedną niewiadomą (patrz: Krok 4.), ale popełnisz błędy rachunkowe.
ALBO
• Gdy zapiszesz układ równań z dwiema niewiadomymi \(a\) oraz \(b\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro trapez jest równoramienny, to sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:
Zwróć uwagę na to, że powstał nam trójkąt prostokątny, który tworzą kawałek dolnej podstawy, wysokość figury oraz ramię trapezu. To właśnie z tego trójkąta będziemy za chwilę korzystać obliczając interesujące nas długości boków.
Krok 2. Obliczenie wysokości trapezu.
Zanim skorzystamy z utworzonego trójkąta prostokątnego, to możemy obliczyć wysokość naszej figury. Korzystając ze wzoru na pole trapezu możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
80=\frac{1}{2}\cdot20\cdot h \\
80=10\cdot h \\
h=8$$
Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(x\).
Spójrzmy teraz na nasz rysunek pomocniczy, a konkretniej na ten nasz kluczowy trójkąt prostokątny. Wiemy już, że boczna przyprostokątna ma długość \(h=8\). Wiemy też, że \(tgα=\frac{4}{3}\), a skoro tangens odpowiada za stosunek długości przyprostokątnych, to błyskawicznie wyliczymy długość odcinka oznaczonego jako \(x\):
$$tgα=\frac{h}{x} \\
\frac{4}{3}=\frac{8}{x}$$
Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$4\cdot x=3\cdot8 \\
4x=24 \\
x=6$$
Krok 4. Obliczenie długości podstaw trapezu.
Dolną podstawę opisaliśmy sobie jako \(a=2x+y\), natomiast górną jako \(b=y\). Skoro już wiemy, że \(x=6\), to tym samym w całym zapisie pojawi nam się już tylko jedna niewiadoma, bowiem dolną podstawę możemy już zapisać jako \(a=2\cdot6+y=12+y\).
Wiemy, że suma podstaw musi być równa \(20\), zatem powstaje nam do rozwiązania proste równanie:
$$12+y+y=20 \\
12+2y=20 \\
2y=8 \\
y=4$$
To oznacza, że dolna podstawa ma długość \(a=12+4=16\), a górna podstawa ma długość \(b=4\).
Zadanie 34. (5pkt) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o podstawach \(ABCD\) i \(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) (jak na rysunku) krawędź boczna jest trzy razy dłuższa od krawędzi podstawy. Z wierzchołka \(B\) poprowadzono odcinek \(BE\), którego koniec \(E\) jest środkiem krawędzi \(A_{1}D_{1}\). Długość \(BE\) jest równa \(4\sqrt{41}\). Oblicz objętość graniastosłupa i wyznacz sinus kąta nachylenia odcinka \(BE\) do płaszczyzny podstawy graniastosłupa.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że \(|BF|^2=a^2+\left(\frac{1}{2}a\right)^2\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą wynikające z Twierdzenia Pitagorasa np. \(\left(\sqrt{\frac{5}{4}a^2}\right)^2+(3a)^2=(4\sqrt{41})^2\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy obliczysz objętość graniastosłupa (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz \(sinα\) (patrz: Krok 5.).
ALBO
• Gdy otrzymany wynik jest niepoprawny jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli wysokość graniastosłupa jest \(3\) razy większa od krawędzi podstawy, to całość po zaznaczeniu wszystkich informacji z treści zadania będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób:
Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(FB\).
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(ABF\), który znalazł się w podstawie naszej bryły. Dolna przyprostokątna tego trójkąta ma długość \(a\), boczna przyprostokątna ma długość \(\frac{1}{2}a\), zatem korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$a^2+\left(\frac{1}{2}a\right)^2=|FB|^2 \\
a^2+\frac{1}{4}a^2=|FB|^2 \\
|FB|^2=\frac{5}{4}a^2 \\
|FB|=\sqrt{\frac{5}{4}a^2} \quad\lor\quad |FB|=-\sqrt{\frac{5}{4}a^2}$$
Ujemny wynik odrzucamy, bo długość odcinka \(BF\) jest na pewno dodatnia, zatem zostaje nam \(|FB|=\sqrt{\frac{5}{4}a^2}\). Teoretycznie moglibyśmy uprościć jeszcze ten zapis (otrzymując ostateczną postać \(|FB|=\frac{a\sqrt{5}}{2})\), ale nie ma takiej potrzeby, bo za chwilę będziemy i tak podnosić tę wartość do kwadratu.
Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Spójrzmy teraz na trójkąt prostokątny \(FBE\). Wyliczyliśmy przed chwilą, że \(|FB|=\sqrt{\frac{5}{4}a^2}\). Wiemy, że \(|FE|=3a\). Dodatkowo znamy też miarę przeciwprostokątnej, bowiem \(|BE|=4\sqrt{41}\). Korzystając więc z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$\left(\sqrt{\frac{5}{4}a^2}\right)^2+(3a)^2=(4\sqrt{41})^2 \\
\frac{5}{4}a^2+9a^2=16\cdot41 \\
\frac{41}{4}a^2=656 \\
41a^2=2624 \\
a^2=64 \\
a=8 \quad\lor\quad a=-8$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(a=8\).
Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Wiemy już, że w podstawie graniastosłupa jest kwadrat o boku \(a=8\). Wiemy też, ze wysokość jest równa \(3a\), zatem \(H=3\cdot8=24\). Możemy wiec bez przeszkód obliczyć objętość naszego graniastosłupa:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=8\cdot8\cdot24 \\
V=1536$$
Krok 5. Obliczenie sinusa kąta \(α\).
Na koniec musimy jeszcze poprawnie obliczyć wartość sinusa naszego kąta \(α\). W tym celu spoglądamy na trójkąt prostokątny \(FBE\). Sinus to długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta (czyli u nas \(FE\), która jest wysokością graniastosłupa) względem przeciwprostokątnej (czyli u nas \(BE\)). Możemy zatem zapisać, że:
$$sinα=\frac{|FE|}{|BE|} \\
sinα=\frac{24}{4\sqrt{41}} \\
sinα=\frac{6}{\sqrt{41}} \\
sinα=\frac{6\cdot\sqrt{41}}{\sqrt{41}\cdot\sqrt{41}} \\
sinα=\frac{6\sqrt{41}}{41}$$
Poprzednie
Zakończ
Następne