Punkty A, B, C, D należą do okręgu o środku O. Jeśli kąt ABC ma miarę 70°, to kąt DAC ma miarę

Punkty \(A,B,C,D\) należą do okręgu o środku \(O\). Jeśli kąt \(ABC\) ma miarę \(70°\), to kąt \(DAC\) ma miarę:

matura z matematyki

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(OAB\).
Musimy zauważyć, że trójkąt \(ABO\) jest trójkątem równoramiennym - jego ramionami są długości promienia poprowadzone z punktu \(O\). Z własności trójkątów równoramiennych wynika, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę, zatem:
$$|\sphericalangle OAB|=70°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(BAC\).
Teraz spójrzmy na trójkąt \(ABC\). Jest to trójkąt w którym jeden z boków pokrywa się ze średnicą okręgu. Skoro tak, to musi to być trójkąt prostokątny, zatem:
$$|\sphericalangle BAC|=90°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(DAC\).
Kąt \(DAC\) jest tak naprawdę różnicą między kątem prostym \(BAC\) oraz kątem \(OAB\), zatem:
$$|\sphericalangle DAC|=|\sphericalangle BAC|-|\sphericalangle OAB| \\
|\sphericalangle DAC|=90°-70° \\
|\sphericalangle DAC|=20°$$

Odpowiedź

D

Dodaj komentarz