Iloczyn liczb spełniających równanie (x-1/2)^2-25/4=0 jest równy

Iloczyn liczb spełniających równanie \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{25}{4}=0\) jest równy:

Rozwiązanie

Krok 1. Przekształcenie i uproszczenie równania.
$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{25}{4}=0 \\
x^2-x+\frac{1}{4}-\frac{25}{4}=0 \quad\bigg/\cdot4 \\
x^2-x-\frac{24}{4}=0 \\
x^2-x-6=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które obliczymy korzystając oczywiście z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1-(-24)=1+24=25 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-5}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+5}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 3. Obliczenie iloczynu liczb spełniających równanie.
Musimy jeszcze obliczyć iloczyn tych rozwiązań, czyli:
$$x_{1}\cdot x_{2}=-2\cdot3=-6$$

Odpowiedź

D

1 Komentarz
Inline Feedbacks
View all comments
KtośTam

Można prościej:

Równanie:
(x-1/2)^2-25/4=0

Jest to ładna postać kanoniczna, więc wystarczy zacząć od pierwiastka, reszta sama się wykonuje.
Musimy tylko pamiętać, że zarówno 5/2, jak i -5/2 do kwadratu daje nam 25/4. Czyli:

(x-1/2)^2=25/4 – Przenosimy wyraz wolny na prawo, zmieniając przy tym znak.

x-1/2=5/2 v x-1/2=-5/2 – Po pierwiastku pojawiają się dwie odpowiedzi.

x=6/2=3 v x=-4/2=-2 – Określamy x1 i x2

Mamy dwa rozwiązania, x1=3, x2=-2. Zostaje iloczyn
x1*x2=3*(-2)=-6