Rozwiązanie
Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej.
Znając miejsca zerowe funkcji możemy zapisać ją w postaci iloczynowej:
$$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2}) \\
f(x)=a(x-(-2))(x-6) \\
f(x)=a(x+2)(x-6)$$
Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\).
W postaci iloczynowej brakuje nam jeszcze tylko znajomości współczynnika kierunkowego \(a\). Obliczymy go podstawiając do wyznaczonej postaci współrzędne punktu \(A=(1,-5)\). Wtedy:
$$-5=a(1+2)(1-6) \\
-5=a\cdot3\cdot(-5) \\
-5=-15a \\
a=\frac{1}{3}$$
To oznacza, że nasza funkcja w postaci iloczynowej przyjmuje wzór: \(f(x)=\frac{1}{3}(x+2)(x-6)\).
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnej iksowej wierzchołka paraboli (czyli współrzędnej \(p\)).
Nasza funkcja ma współczynnik kierunkowy równy \(a=\frac{1}{3}\), a to oznacza, że ramiona paraboli będą skierowane do góry. To z kolei prowadzi nas do wniosku, że minimalną wartość funkcja osiągnie w swoim wierzchołku. Znając dwa miejsca zerowe możemy bez problemu wyznaczyć współrzędną iksową wierzchołka paraboli, bowiem wierzchołek jest zawsze pośrodku tych miejsc zerowych. Zatem:
$$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} \\
p=\frac{-2+6}{2} \\
p=\frac{4}{2} \\
p=2$$
Krok 4. Obliczenie najmniejszej wartości funkcji.
Wiemy już, że funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku i wiemy że osiąga ten wierzchołek dla \(x=2\). W związku z tym możemy podstawić \(x=2\) do wzoru funkcji, który wyznaczyliśmy w drugim kroku i otrzymamy poszukiwaną najmniejszą wartość funkcji:
$$f(x)=\frac{1}{3}(x+2)(x-6) \\
f(2)=\frac{1}{3}(2+2)(2-6) \\
f(2)=\frac{1}{3}\cdot4\cdot(-4) \\
f(2)=\frac{1}{3}\cdot(-16) \\
f(2)=-\frac{16}{3}$$
