Matura – Matematyka – Maj 2021

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Aby przystąpić do wykonywania obliczeń musimy zapisać tę nierówność w postaci ogólnej. Musimy zatem obustronnie odjąć \(14\), otrzymując:
$$x^2-5x\le14 \quad\bigg/-14 \\
x^2-5x-14\le0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=-14\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot(-14)=25-(-56)=81 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{81}=9$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{5-9}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{5+9}{2\cdot1}=\frac{14}{2}=7$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, ponieważ współczynnik \(a\) był dodatni. Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\)).


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości mniejsze od zera lub równe zero, a więc:
$$x\in\langle-2;7\rangle$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz do postaci typu \(ac\lt bc\) lub innej podobnej.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Kluczem do tego zadania jest pamiętanie o tym, że rozwiązując nierówności musimy być pewni tego przez jaką liczbę mnożymy obie strony nierówności. Gdyby to była liczba ujemna, to trzeba byłoby zmienić znak na przeciwny.

Z treści zadania wiemy, że liczby \(a\), \(b\) oraz \(c\) są dodatnie, więc możemy bez problemu mnożyć obie strony nierówności właśnie przez te liczby. Zaczynając od pomnożenia obydwu stron przez \(b\) otrzymamy;
$$\frac{a}{b}\lt\frac{a+c}{b+c} \quad\bigg/\cdot b \\
a\lt\frac{ab+bc}{b+c} \quad\bigg/\cdot(b+c) \\
a\cdot(b+c)\lt ab+bc \\
ab+ac\lt ab+bc\quad\bigg/-ab \\
ac\lt bc$$

I teraz mamy różne możliwości na zakończenie dowodzenia. Przykładowo:

I sposób:
Mając nierówność \(ac\lt bc\) możemy obustronnie odjąć \(bc\) i otrzymać informację, że:
$$ac-bc\lt0 \\
c(a-b)\lt0$$

Z treści zadania wiemy, że \(a\lt b\), więc wartość \(a-b\) znajdująca się w nawiasie musi być ujemna. Skoro liczba \(c\) jest dodatnia oraz \(a-b\) jest ujemne, to iloczyn tych dwóch liczb musi być mniejszy od zera, co należało właśnie udowodnić.

II sposób:
Mając postać \(ac\lt bc\) możemy wywnioskować, że skoro \(a\lt b\) i wszystkie liczby są dodatnie, to iloczyn \(ac\) musi być mniejszy od \(bc\), co także należało udowodnić.

III sposób:
Mając postać \(ac\lt bc\) możemy podzielić obie strony przez \(c\), otrzymując \(a\lt b\), co jest prawdą zgodnie z treścią zadania.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz wartość współczynnika \(b\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz wartość współczynnika \(a\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\).
Z treści zadania dość niepozornie wynika informacja, że współczynnik \(b=2\). Skąd to wiemy? Jedną z własności funkcji liniowych jest to, że współczynnik \(b\) informuje nas o miejscu przecięcia się wykresu z osią \(OY\). W zadania wiemy, że funkcja przyjmuje wartość \(y=2\) dla argumentu \(x=0\), a przecież jest to właśnie punkt przecięcia się z osią \(OY\). Stąd też płynie wniosek, że \(b=2\).

Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to do tego samego wniosku dojdziemy podstawiając \(x=0\) oraz \(y=2\) do postaci kierunkowej \(y=ax+b\), zatem:
$$2=a\cdot0+b \\
2=0+b \\
b=2$$

To oznacza, że nasza funkcja liniowa wyraża się wzorem \(f(x)=ax+2\). Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\).

Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\).
Z treści zadania wynika, że \(f(4)-f(2)=6\). Wiemy już, że naszą funkcję da się zapisać jako \(f(x)=ax+2\), więc:
$$f(4)=a\cdot4+2=4a+2 \\
f(2)=a\cdot2+2=2a+2$$

Podstawiając teraz tę informację do różnicy \(f(4)-f(2)=6\), otrzymamy:
$$4a+2-(2a+2)=6 \\
4a+2-2a-2=6 \\
2a=6 \\
a=3$$

To oznacza, że nasza funkcja wyraża się wzorem \(f(x)=3x+2\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz do równania kwadratowego (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie założeń.
Rozwiązywanie zadania powinniśmy zacząć od zapisania założeń. Na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, więc wartość z mianownika powinna być różna od zera. W związku z tym:
$$3x-2\neq0 \\
3x\neq2 \\
x\neq\frac{2}{3}$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Rozwiązywanie najprościej będzie zacząć od wymnożenia obydwu stron przez wartość z mianownika, czyli przez \(3x-2\). Otrzymamy wtedy:
$$\frac{3x+2}{3x-2}=4-x \quad\bigg/\cdot(3x-2) \\
3x+2=(4-x)(3x-2) \\
3x+2=12x-8-3x^2+2x \\
3x+2=-3x^2+14x-8 \\
3x^2-11x+10=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=3,\;b=-11,\;c=10\)
$$Δ=b^2-4ac=(-11)^2-4\cdot3\cdot10=121-120=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{11-1}{2\cdot3}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{11+1}{2\cdot3}=\frac{12}{6}=2$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Wyszło nam, że \(x=\frac{5}{3}\) oraz \(x=2\), ale to nie koniec zadania. Musimy jeszcze sprawdzić, czy otrzymane wyniki nie wykluczają się przypadkiem z założeniami z pierwszego kroku. W tym przypadku tak się nie stało, więc obydwa rozwiązania są jak najbardziej prawidłowe. Stąd też możemy zapisać, że ostatecznymi rozwiązaniami równania są \(x=\frac{5}{3}\) oraz \(x=2\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość boku trójkąta \(ABC\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole trójkąta \(AKL\), czyli \(P=4\sqrt{3}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Choć w tym zadaniu rysunek nie jest może priorytetem, to zobrazujmy sobie tę sytuację, tak aby zrozumieć co liczymy:


Krok 2. Obliczenie długości boku trójkąta \(ABC\).
Skoro pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(9\sqrt{3}\), to korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
9\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
36\sqrt{3}=a^2\sqrt{3} \\
a^2=36 \\
a=6 \quad\lor\quad a=-6$$

Długość boku musi być oczywiście dodatnia, zatem zostaje nam \(a=6\).

Krok 3. Obliczenie długości boków trójkąta \(AKL\).
Z treści zadania wynika, że skala podobieństwa wynosi \(k=\frac{3}{2}\). I teraz trzeba być ostrożnym - skala jest większa od \(1\), a większym trójkątem jest trójkąt \(ABC\). To prowadzi nas do wniosku, że:
$$\frac{|AB|}{|AK|}=\frac{3}{2} \\
\frac{6}{|AK|}=\frac{3}{2} \\
6=\frac{3}{2}\cdot|AK| \\
|AK|=4$$

Skoro trójkąt \(AKL\) jest trójkątem podobnym, to tak jak trójkąt \(ABC\) musi być równoboczny. To oznacza, że wszystkie boki trójkąta \(AKL\) mają długość równą \(4\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej kostce może wypaść jeden z sześciu wyników, a skoro rzucamy dwoma kostkami, to liczba wszystkich możliwości będzie równa \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której suma wyrzuconych oczek jest równa \(4\), \(5\) lub \(6\). Wypiszmy sobie te zdarzenia:
$$(1,3); (1;4); (1;5) \\
(2,2); (2;3); (2;4) \\
(3,1); (3;2); (3;3) \\
(4,1); (4;2) \\
(5,1)$$

Z rozpiski wynika, że warunki zadania spełnia \(12\) przypadków, stąd też możemy napisać, że \(|A|=12\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie pozwalające obliczyć współrzędne punktu \(C\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
Gdy zapiszesz, że \(C=(0;y_{C})\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
Gdy wyznaczysz współrzędne środka odcinka \(AB\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz współczynnik kierunkowy równania prostej \(a\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość boku \(AB\) (patrz: Krok 1.) oraz wykonasz jedną z czynności za 1 punkt.
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie prostej \(SC\) (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne punktu \(C\) (patrz: Krok 5.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość boku \(AB\) (patrz: Krok 1.) oraz zapiszesz równanie prostej \(SC\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne punktu \(C\) (patrz: Krok 5.) oraz długość przynajmniej jednego boku trójkąta \(ABC\) (patrz: Krok 6.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

I sposób - porównując długości odcinków.
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Z treści zadania wynika, że długość odcinka \(AC\) jest dokładnie taka sama jak \(BC\) (są to ramiona naszego trójkąta równoramiennego). Możemy więc skorzystać ze wzoru na długość odcinka i zapisać, że w takim razie:
$$|AC|=|BC| \\
\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \quad\bigg/^2 \\
(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2=(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2 \\
(x_{C}-(-20))^2+(y_{C}-12)^2=(x_{C}-7)^2+(y_{C}-3)^2$$

Mamy równanie z dwoma niewiadomymi, ale z treści zadania wypływa jeszcze jedna ważna informacja - wierzchołek \(C\) leży na osi \(Oy\), a to oznacza, że współrzędna \(x_{C}\) na pewno jest równa \(0\). To umożliwia nam doprowadzenie całego zapisu do równania z jedną niewiadomą:
$$(0-(-20))^2+(y_{C}-12)^2=(0-7)^2+(y_{C}-3)^2 \\
20^2+(y_{C}-12)^2=(-7)^2+(y_{C}-3)^2 \\
400+{y_{C}}^2-24y_{C}+144=49+{y_{C}}^2-6y_{C}+9 \\
-24y_{C}+544=-6y_{C}+58 \\
-18y_{C}=-486 \\
y_{C}=27$$

W ten sposób błyskawicznie poznaliśmy brakującą współrzędną \(y\) naszego punktu \(C\), stąd też możemy zapisać, że \(C=(0;27)\).

Krok 2. Obliczenie długości boków trójkąta.
Znamy już wszystkie współrzędne wierzchołków trójkąta \(ABC\), zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy obliczyć miary każdego z boków. Obliczmy zatem długość podstawy \(AB\) oraz ramion \(AC\) i \(BC\) (ramiona będą miały tą samą długość).
Podstawa:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(7-(-20))^2+(3-12)^2} \\
|AB|=\sqrt{27^2+(-9)^2} \\
|AB|=\sqrt{729+81} \\
|AB|=\sqrt{810} \\
|AB|=\sqrt{81\cdot10} \\
|AB|=9\sqrt{10}$$

Ramię:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2} \\
|AC|=\sqrt{(0-(-20))^2+(27-12)^2} \\
|AC|=\sqrt{20^2+15^2} \\
|AC|=\sqrt{400+225} \\
|AC|=\sqrt{625} \\
|AC|=25$$

Ramiona mają jednakową długość, więc także \(|BC|=25\).

Krok 3. Obliczenie obwodu trójkąta.
Znając długości wszystkich boków możemy zapisać, że:
$$Obw=9\sqrt{10}+25+25 \\
Obw=50+9\sqrt{10}$$

II sposób - wyznaczając środek odcinka \(AB\) oraz równanie prostej \(AB\).
Ten sposób jest znacznie dłuższy, ale w podobnych zadaniach jest często jedynym, który pozwoli nam na dojście do prawidłowego rozwiązania.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na układ współrzędnych znane nam punkty \(A\) oraz \(B\) i sprawdźmy jak całość wygląda w rzeczywistości. Przy okazji warto zaznaczyć, że bok \(AB\) będzie podstawą naszego trójkąta.


Kluczem do sukcesu będzie oczywiście wykorzystanie własności trójkątów równoramiennych. Powinniśmy pamiętać, że wysokość takiego trójkąta przecina podstawę w połowie długości. To właśnie dzięki tej informacji będziemy mogli dotrzeć do współrzędnych punktu \(C\), a potem do długości poszczególnych boków.

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(AB\).
Korzystając ze wzoru na środek odcinka możemy zapisać, że:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right) \\
S=\left(\frac{-20+7}{2};\frac{12+3}{2}\right) \\
S=\left(\frac{-13}{2};\frac{15}{2}\right)$$

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\).
Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\), możemy bez problemu wyznaczyć współczynnik kierunkowy \(a\) prostej, która przez te punkty przechodzi. Znajomość tego współczynnika przyda nam się za chwilę do wyznaczenia prostej prostopadłej. W tym celu wystarczy skorzystać ze wzoru:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} \\
a=\frac{3-12}{7-(-20)} \\
a=\frac{-9}{27} \\
a=-\frac{1}{3}$$

Gdybyśmy o tym wzorze nie pamiętali, to współczynnik \(a\) wyznaczymy chociażby z metody układu równań (dzięki której możemy poznać wręcz pełne równanie prostej \(AB\)). W tym celu do postaci kierunkowej \(y=ax+b\) wystarczy podstawić najpierw współrzędne punktu \(A\), a potem \(B\), otrzymując:
\begin{cases}
12=-20a+b \\
3=7a+b
\end{cases}

Odejmując te równania stronami, otrzymamy:
$$9=-27a \\
a=-\frac{1}{3}$$

Moglibyśmy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\) i tym samym mielibyśmy cały wzór prostej \(AB\), ale nam to nie jest potrzebne. Wystarczy informacja, że \(a=-\frac{1}{3}\).

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej \(SC\).
Prosta \(SC\) jest wysokością trójkąta, czyli jest prostopadła do podstawy \(AB\). Z własności prostych prostopadłych wiemy, że aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro prosta \(AB\) ma \(a=-\frac{1}{3}\), to prosta \(SC\) musi mieć \(a=3\), ponieważ \(-\frac{1}{3}\cdot3=-1\). To oznacza, że prosta \(SC\) da się opisać równaniem \(y=3x+b\). Do pełni szczęścia brakuje nam jeszcze wartości współczynnika \(b\).

Chcąc poznać wartość współczynnika \(b\), wystarczy do równania \(y=3x+b\) podstawić współrzędne punktu, który przez tą prostą przechodzi, czyli współrzędne punktu \(S=\left(\frac{-13}{2};\frac{15}{2}\right)\). Otrzymamy zatem:
$$\frac{15}{2}=3\cdot\left(\frac{-13}{2}\right)+b \\
\frac{15}{2}=\frac{-39}{2}+b \\
b=\frac{54}{2}=27$$

To oznacza, że prosta \(SC\) wyraża się równaniem \(y=3x+27\).

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Wiemy już, że punkt \(C\) leży na osi \(OY\), czyli wiemy, że współrzędna \(x=0\). Wyliczyliśmy sobie przed chwilą, że ten punkt musi leżeć na prostej \(y=3x+27\). To oznacza, że brakująca współrzędna \(y\) będzie równa:
$$y=3\cdot0+27 \\
y=27$$

Wyszło nam więc, że \(C=(0;27)\).

Krok 6. Obliczenie długości boków trójkąta.
Znamy już wszystkie współrzędne wierzchołków trójkąta \(ABC\), zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy obliczyć miary każdego z boków. Obliczmy zatem długość podstawy \(AB\) oraz ramion \(AC\) i \(BC\) (ramiona będą miały tą samą długość).
Podstawa:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(7-(-20))^2+(3-12)^2} \\
|AB|=\sqrt{27^2+(-9)^2} \\
|AB|=\sqrt{729+81} \\
|AB|=\sqrt{810} \\
|AB|=\sqrt{81\cdot10} \\
|AB|=9\sqrt{10}$$

Ramię:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2} \\
|AC|=\sqrt{(0-(-20))^2+(27-12)^2} \\
|AC|=\sqrt{20^2+15^2} \\
|AC|=\sqrt{400+225} \\
|AC|=\sqrt{625} \\
|AC|=25$$

Ramiona mają jednakową długość, więc także \(|BC|=25\).

Krok 7. Obliczenie obwodu trójkąta.
Znając długości wszystkich boków możemy zapisać, że:
$$Obw=9\sqrt{10}+25+25 \\
Obw=50+9\sqrt{10}$$