Dany jest sześcian ABCDEFGH. Odcinek łączący wierzchołek H ze środkiem krawędzi BC

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\). Odcinek łączący wierzchołek \(H\) ze środkiem krawędzi \(BC\) ma długość \(HP=4\) (jak na rysunku).

matura z matematyki



Oblicz objętość tego sześcianu.

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, iż trójkąt \(PCH\) jest prostokątny. Skoro tak, to pomoże nam tutaj Twierdzenie Pitagorasa. Jeżeli przyjmiemy, że długość krawędzi sześcianu ma długość \(a\), to \(|PC|=\frac{1}{2}a\) natomiast \(|CH|=a\sqrt{2}\) (bo jest to przekątna kwadratu o boku \(a\)). W treści zadania mamy jeszcze podaną długość \(|HP|=4\) (która jest przeciwprostokątną naszego trójkąta), zatem:
$$\left(\frac{1}{2}a\right)^2+(a\sqrt{2})^2=4^2 \\
\frac{1}{4}a^2+2a^2=16 \\
\frac{9}{4}a^2=16 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{9} \\
a^2=\frac{64}{9} \\
a=\sqrt{\frac{64}{9}} \quad\lor\quad a=-\sqrt{\frac{64}{9}} \\
a=\frac{8}{3} \quad\lor\quad a=-\frac{8}{3}$$

Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
$$V=a^3 \\
V=\left(\frac{8}{3}\right)^3 \\
V=\frac{512}{27}=18\frac{26}{27}$$

Odpowiedź

\(V=18\frac{26}{27}\)

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments