Rozwiązanie
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Generalnie już po samym wzorze widać, że ten ciąg jest rosnący (za sprawą potęgi przy \(n\) oraz dodaniu \(n\)). Jeżeli jednak tego nie dostrzegamy, to możemy standardowo obliczyć wartość \(a_{n+1}-a_{n}\). Zacznijmy może od policzenia \(a_{n+1}\), tak aby wszystko było nieco bardziej czytelne:
$$a_{n+1}=2(n+1)^2+n+1 \\
a_{n+1}=2(n^2+2n+1)+n+1 \\
a_{n+1}=2n^2+4n+2+n+1 \\
a_{n+1}=2n^2+5n+3$$
Teraz znając wartość \(a_{n+1}\), możemy przystąpić do obliczenia \(a_{n+1}-a_{n}\), zatem:
$$a_{n+1}-a_{n}=2n^2+5n+3-(2n^2+n) \\
a_{n+1}-a_{n}=2n^2+5n+3-2n^2-n \\
a_{n+1}-a_{n}=4n+3$$
Skoro \(n\) w ciągach jest zawsze liczbą naturalną, to \(4n+3\) jest zawsze liczbą dodatnią, stąd też ciąg jest rosnący. Zdanie jest więc fałszem.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Chcąc obliczyć ósmy wyraz tego ciągu, wystarczy podstawić n=8 do wzoru ciągu, zatem:
$$a_{8}=2\cdot8^2+8 \\
a_{8}=2\cdot64+8 \\
a_{8}=128+8 \\
a_{8}=136$$
Zdanie jest więc prawdą.
