Egzamin ósmoklasisty – Matematyka – 2019

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich rozegranych meczów (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny ze względu na błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie ile procent meczów było przegranych.
Z diagramu kołowego wynika, że przegrane mecze stanowią:
$$100\%-45\%-25\%=30\%$$

Krok 2. Obliczenie ile było wszystkich meczów.
Skoro drużyna wygrała \(25\%\) meczów i było to \(10\) spotkań, to oznacza że drużyna rozegrała \(40\) meczów w trakcie całego sezonu.

Krok 3. Obliczenie ile meczów było przegranych.
Skoro drużyna przegrała \(30\%\) meczów, a takich spotkań rozegrała \(40\), to znaczy że liczba meczów zakończonych porażką jest równa:
$$0,3\cdot40=12$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz czas jazdy busa (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny ze względu na błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie czasu jazdy busa.
Czas jazdy busa możemy obliczyć korzystając ze wzoru na prędkość. Skoro bus przejechał trasę \(s=120km\) z prędkością \(v=80\frac{km}{h}\), to czas jazdy wyniósł:
$$v=\frac{s}{t} \\
vt=s \\
t=\frac{s}{v} \\
t=\frac{120km}{80\frac{km}{h}} \\
t=1,5h=90 minut$$

Krok 2. Obliczenie o ile krótszy był czas przejazdu samochodem.
Skoro bus jechał przez \(90\) minut, a samochód przez \(75\), to czas jazdy autem był szybszy o:
$$90min-75min=15min$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie zapiszesz równanie z jedną niewiadomą (patrz: Krok 2.), ale samo równanie rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy cenę bukietu opiszesz wyrażeniem algebraicznym z jedną niewiadomą, ale nie ułożysz z niego równania np. napiszesz, że bukiet kosztuje \(4\cdot x+3\cdot2x\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - liczba róż w bukiecie
\(2x\) - liczba goździków w bukiecie

Krok 2. Ułożenie odpowiedniego równania.
Wiemy, że w bukiecie jest \(x\) róż, każda kosztuje \(4zł\). Wiemy też, że w bukiecie mamy \(2x\) goździków, z czego każdy kosztuje \(3zł\). Skoro cały bukiet kosztował \(35zł\), to możemy ułożyć następujące równanie:
$$4\cdot x+3\cdot2x=35 \\
4x+6x=35 \\
10x=35 \\
x=3,5$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego rozwiązania.
Wyszło nam, że aby bukiet kosztował zgodnie z założeniami \(35zł\), to w bukiecie powinno znaleźć się \(3,5\) róży. Otrzymanie wyniku niecałkowitego sprawia, że taki bukiet nie mógł kosztować \(35zł\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że w godzinach od 12:00 do 14:00 przeprowadzono \(\frac{1}{6}\) wszystkich konkurencji (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz (nawet słownie) że np. \(6\) konkurencji stanowi \(\frac{1}{3}\) z połowy (nie z całości!) zaplanowanych konkurencji.
2 pkt
• Gdy zapiszesz, że np. \(12\) konkurencji stanowi \(\frac{1}{3}\) wszystkich konkurencji (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Cała sytuacja wyglądała następująco:
\(x\) - liczba wszystkich konkurencji
\(\frac{1}{2}x\) - liczba konkurencji zaplanowanych od 9:00 do 12:00

Skoro do godziny 12:00 zorganizowano \(\frac{1}{2}x\) konkurencji, a wszystkich konkurencji mieliśmy \(x\), to do zorganizowania zostało jeszcze
$$x-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x$$

Między 12:00-14:00 przeprowadzono \(\frac{1}{3}\) konkurencji z tych co pozostały! Czyli w tym czasie przeprowadzono:
$$\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}x=\frac{1}{6}x$$

To oznacza, że łącznie przeprowadzono:
$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}x=\frac{3}{6}x+\frac{1}{6}x=\frac{4}{6}x=\frac{2}{3}x$$

Wyszło nam, że przeprowadzono dwie trzecie wszystkich konkurencji. Tym samym oznacza to, że nie przeprowadzono:
$$x-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}x$$


Krok 3. Obliczenie liczby wszystkich konkurencji.
Z treści zadania wynika, że nie przeprowadzono \(12\) konkurencji. Możemy więc ułożyć następujące równanie:
$$\frac{1}{3}x=12 \\
x=36$$

To oznacza, że planowano przeprowadzić \(36\) konkurencji.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz (lub zaznaczysz na rysunku), że stosunek długości boków pojedynczej działki po podziale jest równy \(2:1\), czyli że jeden bok jest dwa razy dłuższy od drugiego (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz (lub zaznaczysz na rysunku), że stosunek długości boków całej dużej działki jest równy \(3:2\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz jeden z wymiarów małego prostokąta (patrz: Krok 2.) lub dużego prostokąta (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny ze względu na błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.


Krok 2. Wyznaczenie wartości \(x\).
Patrząc się na działkę możemy zauważyć, że jest ona prostokątem o bokach \(2x\) oraz \(3x\). Wiemy też, że jej pole powierzchni jest równe \(3750m^2\). Możemy zatem zapisać, że:
$$2x\cdot3x=3750m^2 \\
6x^2=3750m^2 \\
x^2=625m^2 \\
x=25m$$

Krok 3. Wyznaczenie wymiarów działki.
Skoro boki działki to \(2x\) oraz \(3x\), to mają one długość:
$$2x=2\cdot25m=50m \\
3x=3\cdot25m=75m$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie ułożysz równanie z którego można obliczyć długość boku \(BC\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz obwód trapezu (patrz: Krok 5.).
ALBO
• Gdy zapiszesz poprawny sposób obliczenia obwodu trójkąta \(ABC\) i obwodu trapezu \(PRST\), ale popełnisz błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

To zadanie rozwiążemy sobie na dwa sposoby:
I sposób - obliczając obwody trójkąta i trapezu.
Krok 1. Obliczenie długości boku \(BC\).
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć, że:
$$12^2+16^2=|BC|^2 \\
144+256=|BC|^2 \\
|BC|^2=400 \\
|BC|=20$$

Krok 2. Obliczenie obwodu trójkąta \(ABC\).
Trójkąt \(ABC\) ma obwód równy:
$$Obw_{ABC}=16cm+12cm+20cm=48cm$$

Krok 3. Obliczenie długości przecięcia.
Wiemy, że bok \(AC\) został podzielony przerywaną linią na dwie równe części, zatem powstała nam taka oto sytuacja:


Trójkąt \(DEC\) jest trójkątem podobnym do \(ABC\) (mają jednakowe miary kątów). Skoro tak, to stosunek długości odpowiadających boków musi być jednakowy, zatem możemy ułożyć następującą proporcję:
$$\frac{|AB|}{|DE|}=\frac{|AC|}{|DC|} \\
\frac{12}{|DE|}=\frac{16}{8}$$

Mnożąc na krzyż otrzymujemy:
$$16\cdot |DE|=96 \\
|DE|=6$$

Krok 4. Obliczenie długości ramion trapezu.
Spróbujmy nanieść na nasz trapez te wszystkie długości, które już znamy:
Kluczowe miary tego trapezu wyglądają następująco:


Do obliczenia obwodu trapezu brakuje nam jeszcze znajomości długości odcinków \(PT\) oraz \(SR\), czyli ramion trapezu. Te dwa odcinki są na pewno równej długości, bowiem jest to trapez równoramienny. Z Twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie wyliczyć długość ramienia \(PT\):
$$6^2+8^2=|PT|^2 \\
64+36=|PT|^2 \\
|PT|^2=100 \\
|PT|=10$$

Wyszło nam więc, że ramiona tego trapezu mają długość \(10cm\).

Krok 5. Obliczenie obwodu trapezu \(PRST\).
Znamy już wszystkie miary w trapezie, zatem dodając do siebie poszczególne długości otrzymamy obwód równy:
$$Obw_{PRST}=6cm+12cm+10cm+6cm+10cm=44cm$$

Krok 6. Obliczenie różnicy obwodów.
Skoro obwód trójkąta jest równy \(48cm\), a obwód trapezu to \(44cm\), to różnica obwodów wynosi:
$$48cm-44cm=4cm$$

II sposób - bez liczenia dokładnych wartości obwodów trójkąta i trapezu.
Moglibyśmy rozwiązanie tego zadania nieco uprościć, bowiem tak prawdę mówiąc to nie ma konieczności obliczania długości ramion trapezu, a tym samym nie ma konieczności obliczania dokładnych obwodów obydwu figur. Z rysunku wynika, że miara odcinka \(CB\) jest równa sumie długości ramion \(PT\) oraz \(SR\). Naszym zadaniem jest podanie jedynie różnicy między obwodem trójkąta i trapezu, więc skoro te odcinki są sobie równe to możemy je pominąć. W związku z tym wystarczyłoby dojść do trzeciego kroku z pierwszego sposobu rozwiązania i porównać sumę odcinków \(|AB|+|AC|\) z sumą \(|PR|+|TS|\). Skoro tak, to:
$$|AB|+|AC|=12cm+16cm=28cm \\
|PR|+|TS|=6cm+12cm+6cm=24cm$$

To oznacza, że różnica obwodów wynosi:
$$28cm-24cm=4cm$$