Wzory i współczynniki funkcji kwadratowej – zadania maturalne

Wzory i współczynniki funkcji kwadratowej - zadania

Zadanie 1. (1pkt) Wierzchołek paraboli \(y=x^2+4x-13\) leży na prostej o równaniu:

Zadanie 2. (1pkt) Zbiorem wartości funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-4\) jest:

Zadanie 3. (1pkt) Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej \(y=-3(x-7)(x+2)\) są:

Zadanie 4. (1pkt) Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji określonej wzorem \(f(x)=x^2-4x+4\) jest punkt o współrzędnych:

Zadanie 5. (1pkt) Dana jest parabola o równaniu \(y=x^2+8x-14\). Pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa:

Zadanie 6. (1pkt) Wierzchołkiem paraboli o równaniu \(y=-3(x-2)^2+4\) jest punkt o współrzędnych:

Zadanie 7. (1pkt) Wierzchołek paraboli o równaniu \(y=(x-1)^2+2c\) leży na prostej o równaniu \(y=6\). Wtedy:

Zadanie 8. (1pkt) Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli o równaniu \(y=(x+2)(x-4)\) jest równa:

Zadanie 9. (1pkt) Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział \((-\infty,-3\rangle\), może być określona wzorem:

Zadanie 10. (1pkt) Funkcja kwadratowa określona jest wzorem \(f(x)=x^2+x+c\). Jeżeli \(f(3)=4\), to:

Zadanie 11. (1pkt) Parabola o wierzchołku \(W=(-3,5)\) i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem:

Zadanie 12. (1pkt) Dana jest funkcja kwadratowa \(f(x)=-2(x+5)(x-11)\). Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja \(f\) jest rosnąca:

Zadanie 13. (1pkt) Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=(x-1)(x-9)\). Wynika stąd, że funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale:

Zadanie 14. (1pkt) Jeśli funkcja kwadratowa \(f(x)=x^2+2x+3a\) nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba \(a\) spełnia warunek:

Zadanie 15. (2pkt) Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x+3\) w przedziale \(\langle0;4\rangle\).

Zadanie 16. (2pkt) Funkcja kwadratowa \(f\), dla \(x=-3\) przyjmuje wartość największą równą \(4\). Do wykresu funkcji \(f\) należy punkt \(A=(-1,3)\). Zapisz wzór funkcji kwadratowej \(f\).

Zadanie 17. (5pkt) Funkcja kwadratowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\). Zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x)\gt0\) jest przedział \((0,12)\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(9\). Oblicz współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\) funkcji \(f\).

Zadanie 18. (2pkt) Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=x^2-11x\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-6,6\rangle\).

Zadanie 19. (4pkt) Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(6\) oraz \(f(-6)=f(0)=\frac{3}{2}\). Oblicz wartość współczynnika \(a\).

Zadanie 20. (4pkt) Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że:
• przychód \(P\) (w złotych) z tygodniowej sprzedaży \(x\) wiatraków można opisać funkcją \(P(x)=251x\)
• koszt \(K\) (w złotych) produkcji \(x\) wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją \(K(x)=x^2+21x+170\).

Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej \(150\) wiatraków. Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

Zadanie 21. (4pkt) Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po \(196\) złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:
• przychód \(P\) (w złotych) ze sprzedaży \(x\) krzeseł można opisać funkcją \(P(x)=196x\)
• koszt \(K\) (w złotych) produkcji \(x\) krzeseł dziennie można opisać funkcją \(K(x)=4x^2+4x+240\)

Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej \(30\) krzeseł.

Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

Zadanie 22. (4pkt) Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym \(200\) i kącie ostrym o mierze \(30°\). Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości \(x\) boku równoległoboku. Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.

Zadanie 23. (4pkt) Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek połączonych wspólnym bokiem. Całość ma być ogrodzona płotem, przy czym obie działki będzie rozdzielał wspólny płot. W ogrodzeniu będą zamontowane dwie bramy wjazdowe, każda o szerokości \(10m\) (zobacz rysunek poniżej). Łączna długość płotu ogradzającego oraz rozdzielającego obie działki wyniesie \(580\) metrów, przy czym szerokości obu bram wjazdowych nie wliczają się w długość płotu.
matura z matematyki

Oblicz wymiary \(x\) i \(y\) każdej z dwóch prostokątnych działek, tak aby całkowite pole powierzchni magazynowej było największe.

Zadanie 24. (4pkt) Do wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny o długości \(200 m\). Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który w tym miejscu jest linią prostą (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Oblicz wymiary \(a\) i \(b\) kąpieliska tak, aby jego powierzchnia była największa.

Zadanie 25. (4pkt) Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(3\) i \(4\). Wpisano w niego prostokąt w taki sposób, że dwa z jego boków zawierają się w przyprostokątnych trójkąta, a jeden wierzchołek leży na przeciwprostokątnej (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Jakie wymiary powinien mieć prostokąt, aby jego pole było największe? Oblicz to największe pole.

Zadanie 26. (4pkt) Działka ma kształt trapezu. Podstawy \(AB\) i \(CD\) tego trapezu mają długości \(|AB|=400m\) oraz \(|CD|=100 m\). Wysokość trapezu jest równa \(75 m\), a jego kąty \(DAB\) i \(ABC\) są ostre. Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie \(AB\) tego trapezu, a dwa pozostałe – \(E\) oraz \(F\) – na ramionach \(AD\) i \(BC\) trapezu (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię. Zapisz obliczenia.

Wskazówka:
Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu \(ABCD\) jest sumą pól trapezów \(ABFE\) oraz \(EFCD\): \(P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\).

22 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
Intervelse

Czy w zadaniu 17 za 5pkt zamiast postaci kanonicznej mógłbym podstawić punkt W(6,9) do postaci iloczynowej tak żeby wyszła mi niewiadoma a= -1/4? I potem z postaci iloczynowej wyliczyć sobie postać ogólną? Wyniki wyszły mi takie same, ale nie wiem czy zaliczą za maksymalną ilość punktów.
Pozdrawiam.

wera

Które z tych zadań się nie może pojawić na maturze w 2021?

anka1nina

Zadanie 17. Do 4 punktu robiłam tak samo ale w 4 punkcie pominęłam całkowicie przekształcanie wzoru postaci kanonicznej.
Czy mogę zrobić to tak:
mam dane już że a=-1/4, C=0, P=6. Przekształciłam wzór p=-b/2a co powstało mi b=-2pa. Podstawiając do wzoru b=-2*6*(-1/4 = 3
Odpowiedź wychodzi a=-1/4, b=3, c=0. Czy to rozumowanie może być zastosowane czy stracę punkty bo nie mogę tak przekształcać wzorów?

anka1nina

Zadanie 18. Czy to zadanie mogę zrobić całkowicie inaczej ale dochodząc do tego samego wyniku? tzn. Obliczyłam deltę, miejsca zerowe, narysowałam wykres, zaznaczyłam sobie na nim też przedział -6 i 6 więc widziałam wizualnie że najmniejszą wartością będzie wierzchołek czyli W i mając p=5,5 policzyłam z wzoru q? Nie stracę punktów?

ninapodkoscielna

nie rozumiem dlaczego Funkcja kwadratowa będzie mieć najmniejszą (oraz największą) wartość albo w jednym z punktów krańcowych przedziału albo w swoim wierzchołku

gio

Czy odpowiedź na zadanie 12 na pewno ma nawias domknięty na końcu? Przy ustalaniu czy funkcja rośnie/maleje, nawiasy są obustronnie otwarte (przynajmniej tak było na stronie „Wykres funkcji kwadratowej”). Tak samo w zad. 13.
Może po prostu coś mi uciekło, ale dajcie znać!
Pozdrawiam :)

Last edited 2 lat temu by gio
Abaddon

Boże, drugie zadanie i już problem. Głowię się i głowię… a tu w wyjaśnieniu wykres g(x)=x^2. Wow. Mógłby mi Pan wytłumaczyć, dlaczego ten wykres dla g(x) wygląda właśnie tak? Jest na to jakiś wzór, żebym mógł potem samemu sobie robić takie wykresy?

Rozumiem, że muszę się wyglądu tego wykresu po prostu nauczyć na pamięć, dlatego chciałbym się spytać, czy jest jeszcze jakiś przydatny wykres, który muszę po prostu pamiętać?

patrycjanastazjagórska
Reply to  SzaloneLiczby

Cześć, chciałam się zapytać o wyliczenie współrzędnych wierzchołka paraboli: po policzeniu p i q wystarczy je zapisać jako przedział, czy powinnam zrobić coś innego?

Abaddon

Mam pytanie do zadania 25. Zrobiłem je tak prosto i szybko, że zastanawiam się, czy nie jestem przysłowiowym głupim, który ma zawsze szczęście i czy za takie obliczenia w ogóle dostałbym pełne 4 punkty (w zadaniu nie ma wyjaśnionej punktacji, więc pytam). Zrobiłem to w ten sposób, że wykonałem pomocniczy rysunek trójkąta. Żeby pole wpisanego prostokąta było jak największe, to jego boki musiałyby być po prostu połową przyprostokątnych 4 i 3. Do takiego wniosku doszedłem nie z obliczeń właśnie, tylko z obserwacji rysunku poglądowego. Także (4:2)x(3:2)=3 i to jest szukane największe pole. I trochę tak jak w biologii z próbą… Czytaj więcej »

Abaddon
Reply to  SzaloneLiczby

Aha, dziękuję :)
Jakby co, to ja akurat zdaję formułę 2015, jestem tym rocznikiem na wymarciu.

xzy

Cześć, mam pytanie do dziedziny z zadania 20. W wyjaśnieniu jest podana dziedzina: x∈(0;150⟩, czy jest poprawne podanie dziedziny x∈{0,1….,150}? Zadanie dotyczy wiatraków, więc można założyć, że chodzi o wyprodukowanie całych wiatraków, a nie np. 3,2 wiatraków. Z góry dziękuję za odpowiedź!

Romek kl 5 technikum

dobrze zrobione wyjaśnienie, pozdrawiam i dziękuję