Wzory i współczynniki funkcji kwadratowej – zadania maturalne

A

Kiedy parabola jest określona wzorem ogólnym typu \(ax^2+bx+c\) (a tak jest w naszym przypadku) to współrzędne wierzchołka \(W=(p;q)\) tej paraboli możemy określić za pomocą wzorów:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
q=\frac{-Δ}{4a}$$

Jeśli przyjrzymy się odpowiedziom to zauważymy, że musimy wyznaczyć tylko współrzędną \(p\), bo tylko taka się pojawia w tych odpowiedziach, zatem:
Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=-13\)
$$p=\frac{-4}{2\cdot1} \\
p=\frac{-4}{2} \\
p=-2$$

Otrzymany wynik oznacza, że nasz wierzchołek leży na prostej o równaniu \(x=-2\).

A

To zadanie najprościej jest rozwiązać metodą graficzną. Narysujmy sobie wykres funkcji \(g(x)=x^2\) (funkcja niebieska), a następnie przekształcamy ją przesuwając parabolę o cztery jednostki do dołu, tak aby nowa parabola reprezentowała funkcję \(f(x)=x^2-4\) (funkcja zielona).



Teraz z wykresu bardzo łatwo możemy odczytać, że zbiorem wartości tej funkcji kwadratowej jest \(\langle-4;+\infty)\).

A

Mamy podaną funkcję kwadratową w postaci iloczynowej. Aby obliczyć jej miejsca zerowe wystarczy przyrównać wzór tej funkcji do zera. Pamiętaj, że iloczyn będzie równy zero tylko i wyłącznie wtedy, gdy jeden z czynników (czyli jeden z nawiasów) będzie równy zero. Stąd też:
$$-3(x-7)(x+2)=0 \\
x-7=0 \quad\lor\quad x+2=0 \\
x=7 \quad\lor\quad x=-2$$

D

Krok 1. Obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka (\(p\)).
Do obliczeń współrzędnych wierzchołka \(W=(p;q)\) przydadzą nam się współczynniki funkcji kwadratowej:
$$a=1,\;b=-4,\;c=4$$

Zgodnie ze wzorami z tablic matematycznych:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-(-4)}{2\cdot1} \\
p=\frac{4}{2} \\
p=2$$

Tak naprawdę moglibyśmy już na tym skończyć obliczenia, bo już wiemy, że współrzędne naszego wierzchołka to \(W=(2;q)\), a taka sytuacja jest jedynie w czwartej odpowiedzi. W ramach ćwiczenia możemy obliczyć jeszcze drugą współrzędną.

Krok 2. Obliczenie drugiej współrzędnej wierzchołka.
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=16-16=0$$

$$q=\frac{-Δ}{4a} \\
q=\frac{-0}{4\cdot1}\\
q=\frac{-0}{4}\\
q=0$$

Współrzędne wierzchołka to w takim razie \(W=(2;0)\).

B

Wzór paraboli jest podany w postaci ogólnej \(y=ax^2+bx+c\), co pozwala nam wypisać wartości poszczególnych współczynników:
$$a=1,\;b=8,\;c=-14$$

Wartości współczynników \(a\) oraz \(b\) posłużą nam do wyliczenia pierwszej współrzędnej wierzchołka \(W=(x_{W};y_{W})\), bowiem zgodnie ze wzorem z tablic:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-8}{2\cdot1} \\
x_{W}=\frac{-8}{2} \\
x_{W}=-4$$

D

Funkcja przyjmuje postać kanoniczną \(y=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) są współrzędnymi wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Skoro znamy wzór naszej funkcji i jest ona przedstawiona dokładnie w takiej postaci jakiej potrzebujemy, to bez problemu odczytamy z niej współrzędne wierzchołka paraboli: \(W=(2;4)\).

Uwaga: Niektórzy błędnie podają pierwszą współrzędną, twierdząc że jest to \(-2\), a nie \(2\). To najczęściej pojawiający się błąd w tym zadaniu. Bądź ostrożny, bo we wzorze przed wartością \(p\) jest już znak "minus".

C

Krok 1. Ustalenie wartości współrzędnej \(q\).
Skoro wierzchołek określony współrzędnymi \(W=(p;q)\) leży na prostej o równaniu \(y=6\), to znaczy że współrzędna "igrekowa" tego wierzchołka jest równa \(6\), zatem \(q=6\).

Krok 2. Obliczenie wartości parametru \(c\).
Równanie paraboli w postaci kanonicznej możemy zapisać jako \(y=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka paraboli. Przyrównując postać kanoniczną do równania z treści zadania widzimy wyraźnie, że wyraz \(2c\) pokrywa się ze współrzędną \(q\) zatem musimy rozwiązać następujące równanie:
$$2c=q \\
2c=6 \\
c=3$$

C

Krok 1. Zapisanie równania w postaci ogólnej.
Zanim przejdziemy do wyznaczenia pierwszej współrzędnej wierzchołka musimy przekształcić to równanie z postaci iloczynowej do ogólnej, zatem:
$$y=(x+2)(x-4) \\
y=x^2-4x+2x-8 \\
y=x^2-2x-8$$

Krok 2. Obliczenie pierwszej współrzędnej.
Dla paraboli określonej wzorem ogolnym \(y=ax^2+bx+c\) współrzędna \(p\) jej wierzchołka \(W=(p;q)\) wyraża się wzorem:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-(-2)}{2\cdot1} \\
p=\frac{2}{2} \\
p=1$$

C

Krok 1. Określenie kiedy funkcja ma pożądany zbiór wartości.
Musimy się zastanowić kiedy nasza funkcja będzie miała przedział wartości \((-\infty,-3\rangle\).

a) Czy parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, czy do góry?
Jeśli parabola ma ramiona skierowane do góry, to funkcja zawsze dąży do plus nieskończoności. Nasza parabola musi kończyć się na wartości \(-3\), a więc na pewno ma ramiona skierowane do dołu. To oznacza, że współczynnik kierunkowy tej funkcji musi być mniejszy od zera (czyli przed \(x^2\) musi znaleźć się minus).

b) Czym jest liczba \(-3\), która znalazła się w przedziale?
Jest to tak naprawdę współrzędna \(y\) wierzchołka naszej paraboli.

Krok 2. Wskazanie wzoru poszukiwanej funkcji.
Funkcję kwadratową o współrzędnych wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\) możemy zapisać jako:
$$y=a(x-p)^2+q$$

Zgodnie z tym co zapisaliśmy w kroku pierwszym, szukamy funkcji która przed \(x^2\) będzie mieć wartość ujemną oraz taką, której \(q=-3\). Taka funkcja znalazła się jedynie w trzeciej odpowiedzi, czyli będzie to \(y=-(x-2)^2-3\).

A

Krok 1. Obliczenie wartości współczynnika \(c\).
Skoro \(f(3)=4\), to znaczy że po podstawieniu \(x=3\) funkcja musi przyjąć wartość równą \(4\). To z kolei pozwoli nam wyznaczyć wartość współczynnika \(c\).
$$3^2+3+c=4 \\
9+3+c=4 \\
12+c=4 \\
c=-8$$

To oznacza, że nasza funkcja przybiera postać \(f(x)=x^2+x-8\).

Krok 2. Obliczenie wartości \(f(1)\).
Znamy już pełny wzór funkcji, więc sprawdźmy która z odpowiedzi będzie prawidłowa, podstawiając \(x=1\).
$$1^2+1-8=1+1-8=-6$$

Czyli \(f(1)=-6\).

C

Równanie paraboli o wierzchołku \(W=(p;q)\) możemy zapisać jako:
$$y=a(x-p)^2+q$$

W naszym przypadku \(p=-3\) oraz \(q=5\), zatem:
$$y=a(x-(-3))^2+5 \\
y=a(x+3)^2+5$$

Zgodnie z tym wzorem pasowałyby nam pierwsza i trzecia odpowiedź, ale wiemy jeszcze, że parabola ma mieć ramiona skierowane do dołu, tak więc współczynnik \(a\) musi być mniejszy od zera. Taka sytuacja jest w trzeciej odpowiedzi, więc poszukiwanym wzorem jest $$y=-2\cdot(x+3)^2+5$$

A

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych funkcji.
Z postaci iloczynowej w bardzo łatwy sposób jesteśmy w stanie określić miejsca zerowe tej funkcji, przyrównując \(-2(x+5)(x-11)\) do zera:
$$-2(x+5)(x-11)=0 \\
x+5=0 \quad\lor\quad x-11=0 \\
x_{1}=-5 \quad\lor\quad x_{2}=11$$

Krok 2. Obliczenie współrzędnej \(x\) wierzchołka paraboli.



Nasza funkcja zapisana w postaci ogólnej miałaby ujemny współczynnik \(a=-2\) stąd też jej ramiona będą skierowane do dołu. Aby określić przedział w którym funkcja będzie rosnąca potrzebujemy znać jeszcze współrzędną \(x\) wierzchołka tej paraboli. Obliczymy ją w następujący sposób:
$$x_{W}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{-5+11}{2}=\frac{6}{2}=3$$

To oznacza, że funkcja rośnie w przedziale \((-\infty;3\rangle\).

A

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Wzór funkcji jest podany w postaci iloczynowej, tak więc miejsca zerowe wyznaczymy przyrównując wartość każdego z nawiasów do zera.
$$(x-1)(x-9)=0 \\
x-1=0 \quad\lor\quad x-9=0 \\
x=1 \quad\lor\quad x=9$$

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(x\) wierzchołka paraboli.
Aby móc określić w jakim przedziale ta funkcja jest rosnąca musimy poznać współrzędną iksową wierzchołka paraboli. I właśnie do uzyskania tej informacji przydadzą nam się miejsca zerowe, które obliczyliśmy w pierwszym kroku, bowiem wierzchołek paraboli będzie pomiędzy po środku między jednym i drugim miejscem zerowym. Zatem:
$$x_{W}=\frac{1+9}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Krok 3. Wyznaczenie przedziału dla którego funkcja \(f\) jest rosnąca:
Dla przejrzystości zadania zróbmy sobie jeszcze na rysunek szkicowy.



Ramiona paraboli są skierowane do góry, bo przed wartościami \(x\) nie było minusów. Funkcja będzie więc rosnąć od wierzchołka (po to właśnie obliczaliśmy jego współrzędną \(x_{W}\)) aż do nieskończoności. Poszukiwanym przedziałem jest więc \(\langle5;+\infty)\).

D

Skoro funkcja nie ma miejsc zerowych, to na pewno \(Δ\lt0\). Zanim skorzystamy z tej informacji to spróbujmy obliczyć tę deltę tak jak zazwyczaj robimy to przy równaniach i nierównościach kwadratowych:

Krok 1. Obliczenie delty.
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=3a\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot3a=4-12a$$

Krok 2. Obliczenie wartości jakie przyjmuje parametr \(a\).
Skoro delta musi być mniejsza od zera, to obliczona przed chwilą wartość \(4-12a\) będzie mniejsza od zera. W ten oto sposób wyznaczymy przedział wartości parametru \(a\):
$$4-12a\lt0 \\
-12a\lt-4 \\
12a\gt4 \\
a\gt\frac{1}{3}$$

(Podczas rozwiązywania tej nierówności pamiętaj o zmianie znaku przy mnożeniu przez liczbę ujemną!)

Najmniejszą wartością jest \(-6\). Największą wartością jest \(3\).

Funkcja będzie przyjmować największą i najmniejszą wartość w danym przedziale albo na krańcach tego przedziału albo w punkcie, który jest wierzchołkiem funkcji. Wartości krańcowe przedziałów są nam znane, więc potrzebujemy jeszcze wyznaczyć położenie wierzchołka (wystarczy nam jego współrzędna \(x\)).

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnej \(x\) wierzchołka paraboli.
Współrzędną wierzchołka paraboli \(x_{W}\) dla funkcji określonej wzorem w postaci \(ax^2+bx+c\) obliczymy w następujący sposób:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-6)}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3$$

Sprawdzamy teraz, czy wierzchołek w ogóle znajduje się w naszym przedziale, który mamy przeanalizować. Tak się składa, że \(x=3\) mieści się w przedziale \(\langle0;4\rangle\), więc jak najbardziej uwzględnimy go w naszych obliczeniach.

Krok 2. Obliczenie wartości \(f(0)\), \(f(4)\) oraz \(f(3)\).
Zgodnie z tym co napisaliśmy sobie na początku, największych i najmniejszych wartości zawsze spodziewamy się na krańcach przedziału albo w punkcie który jest wierzchołkiem. Sprawdźmy więc jakie wartości przyjmuje ta funkcja dla tych trzech argumentów, a następnie wybierzemy z nich najmniejszą i największą wartość.
$$f(0)=0^2-6\cdot0+3=0-0+3=3 \\
f(4)=4^2-6\cdot4+3=16-24+3=-5 \\
f(3)=3^2-6\cdot3+3=9-18+3=-6$$

Najmniejszą wartością tej funkcji w przedziale \(\langle0;4\rangle\) jest więc \(-6\) (dla \(x=3\)), a największą jest \(3\) (dla \(x=0\)).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pierwszą współrzędną wierzchołka \(x_{W}=3\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz wartość \(f(0)\) oraz \(f(4)\), ale nie obliczysz wartości \(f(3)\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(f(x)=-\frac{1}{4}(x+3)^2+4\) lub zapisując to w postaci ogólnej \(f(x)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}\)

Krok 1. Ustalenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Bardzo ważną informacją jest to, że dla \(x=-3\) funkcja przyjmuje wartość \(y=4\), która jest jednocześnie najwyższą wartością tej funkcji. Krótko mówiąc - jest to po prostu wierzchołek paraboli. Tak więc \(W=(-3;4)\).

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka możemy zapisać wzór funkcji kwadratowej w następującej postaci:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

gdzie \(p\) i \(q\) są współrzędnymi wierzchołka paraboli.

Tak więc nasza funkcja przyjmuje wzór:
$$f(x)=a(x-(-3))^2+4 \\
f(x)=a(x+3)^2+4$$

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika \(a\) i ostatecznego wzoru funkcji.
Znamy już prawie pełny wzór naszej funkcji, brakuje nam jeszcze współczynnika \(a\).

Tak na marginesie, to jeśli dobrze sobie wyobrazimy tę sytuację, to już powinniśmy wiedzieć, że na pewno będzie on ujemny. Skąd to wiadomo? Skoro funkcja przyjmuje najwyższe wartości w swoim wierzchołku to jej ramiona muszą być skierowane do dołu, a więc \(a\lt0\). Gdyby ramiona były skierowane do góry, to najwyższą wartością byłoby \(+\infty\).

Do obliczenia wartości współczynnika \(a\) wykorzystamy punkt \(A=(-1,3)\), który należy do wykresu tej funkcji. Podstawiamy jego współrzędne do wzoru wyznaczonego w poprzednim kroku i otrzymujemy:
$$f(x)=a(x+3)^2+4 \\
3=a(-1+3)^2+4 \\
-1=a\cdot2^2 \\
-1=4a \\
a=-\frac{1}{4}$$

Poszukiwanym wzorem funkcji kwadratowej jest więc \(f(x)=-\frac{1}{4}(x+3)^2+4\).

Oczywiście moglibyśmy jeszcze wykonać potęgowanie (choć nie jest to już konieczne) i wtedy otrzymalibyśmy postać ogólną:
$$f(x)=-\frac{1}{4}(x^2+6x+9)+4 \\
f(x)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{6}{4}x-\frac{9}{4}+4 \\
f(x)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie w postaci \(f(x)=a(x+3)^2+4\) (patrz: Krok 2.) lub \(f(x)=ax^2+6ax+9a+4\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(a=-\frac{1}{4}, b=3, c=0\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Musimy się zastanowić jak będzie wyglądać nasza parabola.

Wniosek I - Skoro funkcja przyjmuje wartości dodatnie (\(f(x)\gt0\)) tylko w przedziale \((0;12)\), to musi być to parabola z ramionami skierowanymi do dołu (patrz rysunek). Nie ma innej możliwości.

Wniosek II - Czym jest natomiast przedział \((0;12)\)? Kiedy rozwiązujemy standardową nierówność i podajemy jej rozwiązania, to zawsze na krańcach przedziałów znajdują się tak naprawdę miejsca zerowe (które obliczamy np. z delty albo z postaci iloczynowej). Nie inaczej jest tutaj, zatem z tego przedziału możemy odczytać, że funkcja ta przecina oś \(Ox\) w punktach \(x_{1}=0\) oraz \(x_{2}=12\) (patrz rysunek).

Wniosek III - Jakie współrzędne ma wierzchołek paraboli? Skoro największa wartość funkcji jest równa \(9\), to jedną współrzędną (\(y=9\)) już znamy. Wiemy też, że wierzchołek paraboli znajduje się dokładnie po środku, między miejscami zerowymi. Zatem współrzędne wierzchołka to \(W=(6;9)\).



Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji przy użyciu współrzędnych wierzchołka paraboli.
Dzięki trzeciemu wnioskowi z pierwszego kroku jesteśmy w stanie zapisać równanie tej paraboli w postaci kanonicznej. Funkcję o wierzchołku w punkcie \(W=(p;q)\) możemy opisać wzorem:
$$y=a(x-p)^2+q \\
y=a(x-6)^2+9$$

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika \(a\).
Wiemy, że parabola przechodzi między innymi przez punkt \((0;0)\), zatem możemy podstawić współrzędne tego punktu do wyznaczonego przed chwilą wzoru i tym samym obliczyć wartość współczynnika \(a\):
$$0=a\cdot(0-6)^2+9 \\
0=a\cdot(-6)^2+9 \\
0=36a+9 \\
36a=-9 \\
a=-\frac{9}{36}=-\frac{1}{4}$$

Krok 4. Sprowadzenie wzoru funkcji do postaci ogólnej.
Podstawiając wyznaczony współczynnik \(a=-\frac{1}{4}\) do wzoru z kroku drugiego, będziemy tak naprawdę znać już pełny wzór naszej funkcji:
$$y=-\frac{1}{4}(x-6)^2+9$$

To jednak nie koniec, bo zgodnie z treścią zadania musimy przedstawić wzór tej funkcji w postaci ogólnej typu \(f(x)=ax^2+bx+c\) i wypisać poszczególne współczynniki. Zatem:
$$y=-\frac{1}{4}(x-6)^2+9 \\
y=-\frac{1}{4}(x^2-12x+36)+9 \\
y=-\frac{1}{4}x^2+3x-9+9 \\
y=-\frac{1}{4}x^2+3x$$

Poszukiwanymi współczynnikami są więc: \(a=-\frac{1}{4}, b=3, c=0\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe funkcji: \(x_{1}=0\) oraz \(x_{2}=12\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że drugą współrzędną wierzchołka paraboli jest \(y=9\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz współrzędne wierzchołka, czyli \(W=(6;9)\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci iloczynowej \(y=a\cdot x\cdot(x-12)\).
3 pkt
• Gdy zapiszesz wzór w postaci kanonicznej \(y=a(x-6)^2+9\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór w postaci iloczynowej \(y=a\cdot x\cdot(x-12)\) oraz obliczysz współrzędne wierzchołka: \(W=(6;9)\).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że współczynnik \(c=0\) (bo \(f(0)=0\)) oraz zapiszesz jedno z równań, które wynika z podstawienia do wzoru funkcji współrzędnych wierzchołka lub punktu przecięcia się z osią \(Ox\) niebędącego początkiem układu współrzędnych np. \(36a+6b=9\) lub \(144a+12b=0\).
4 pkt
• Gdy zapiszesz, że współczynnik \(c=0\) (bo \(f(0)=0\)) oraz zapiszesz układ składający się z dwóch równań: \(36a+6b=9\) oraz \(144a+12b=0\).
ALBO
• Gdy wyznaczysz, że współczynnik \(a=-\frac{1}{4}\) (patrz: Krok 3.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Analizowana funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w miejscu który jest jej wierzchołkiem i jest ona równa \(-30\frac{1}{4}\).

Funkcja kwadratowa będzie mieć najmniejszą (oraz największą) wartość albo w jednym z punktów krańcowych przedziału albo w swoim wierzchołku. Musimy więc obliczyć współrzędne wierzchołka (a w zasadzie współrzędną \(x_{W}\), bo tylko ona jest nam potrzebna).

Krok 1. Obliczenie współrzędnej \(x_{W}\) wierzchołka paraboli.
Skorzystamy ze wzoru na współrzędną \(x\) wierzchołka paraboli, czyli \(x_{W}=\frac{-b}{2a}\). Ze wzoru funkcji odczytujemy współczynniki \(a=1\) oraz \(b=-11\) i podstawiamy je do wzoru otrzymując:
$$x_{W}=\frac{-(-11)}{2\cdot1} \\
x_{W}=\frac{11}{2}$$

Krok 2. Obliczenie wartości funkcji dla \(x=-6\), \(x=6\) oraz \(x=\frac{11}{2}\).
Zgodnie z tym co napisaliśmy sobie na początku musimy podstawić teraz te trzy punkty do wzoru naszej funkcji i sprawdzić który z nich da nam najmniejszy wynik.
$$f(-6)=(-6)^2-11\cdot(-6)=36-(-66)=36+66=102 \\
\\
f(6)=6^2-11\cdot6=36-66=-30 \\
\\
f\left(\frac{11}{2}\right)=\left(\frac{11}{2}\right)^2-11\cdot\left(\frac{11}{2}\right)=\frac{121}{4}-\frac{121}{2}= \\
=\frac{121}{4}-\frac{242}{4}=-\frac{121}{4}=-30\frac{1}{4}$$

Najmniejszą wartość funkcji otrzymaliśmy więc w wierzchołku funkcji i jest ona równa \(-30\frac{1}{4}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pierwszą współrzędną wierzchołka \(x_{W}=\frac{11}{2}\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz wartość \(f(-6)\) oraz \(f(6)\) (zapominając o \(f\left(\frac{11}{2}\right)\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(a=-\frac{1}{2}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Na podstawie danych z treści zadania możemy naszkicować parabolę i spróbujmy zrobić to dość dokładnie, czyli tak aby przecięła nam oś igreków w punkcie \(y=\frac{3}{2}\) (bo \(f(0)=\frac{3}{2}\)) no i tak, żeby miała najwyższą wartość równą \(6\). I tu też ważna uwaga - skąd mamy wiedzieć, czy ramiona tej paraboli są skierowane do dołu czy do góry? Skoro funkcja kwadratowa przyjmuje jakąś największą wartość, no to jej wierzchołek musi być na samej górze paraboli, więc ramiona będą skierowane do dołu.



Dodatkowo zaznaczyłem na rysunku punkt \(S\). Jest to środek odcinka \(AB\). Przyda nam się on do zrozumienia tego jak obliczyć brakującą współrzędną wierzchołka.

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(x_{W}\) wierzchołka paraboli.
Wiemy, że nasz wierzchołek ma współrzędne \(W=(p;6)\). Brakuje nam pierwszej współrzędnej, ale wiemy że będzie ona jednakowa jak współrzędna iksowa punktu \(S\), bo wierzchołek leży dokładnie nad punktem \(S\). Zatem współrzędna iksowa wierzchołka może zostać wyliczona ze wzoru na środek odcinka \(AB\):
$$p=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
p=\frac{-6+0}{2} \\
p=-3$$

To oznacza, że znamy już pełne współrzędne wierzchołka paraboli \(P=(-3;6)\).

Krok 3. Zapisanie wzoru w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka możemy skorzystać z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej:
$$f(x)=a(x-p)^2+q \\
f(x)=a(x-(-3))^2+6 \\
f(x)=a(x+3)^2+6$$

Krok 4. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\).
Do powyższego wzoru funkcji wystarczy już tylko podstawić współrzędne jednego ze znanych nam punktów (musi to być inny punkt niż wierzchołek). Podstawmy więc współrzędne punktu przecięcia się paraboli z osią igreków, czyli \((0;\frac{3}{2})\) i tym samym wyznaczymy poszukiwaną wartość współczynnika \(a\):
$$f(x)=a(x+3)^2+6 \\
\frac{3}{2}=a(0+3)^2+6 \\
\frac{3}{2}=9a+6 \\
\frac{3}{2}=9a+\frac{12}{2} \\
9a=-\frac{9}{2} \\
a=-\frac{1}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pierwszą współrzędną wierzchołka \(x_{W}=-3\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór w postaci kanonicznej \(y=a(x-p)^2+q\) i zapiszesz, że \(q=6\).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie \(-\frac{Δ}{4a}=6\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz wzór w postaci kanonicznej z podstawionymi współrzędnymi wierzchołka: \(y=a(x+3)^2+6\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz układ trzech równań z trzema niewiadomymi: \(a(-6)^2+b(-6)+c=\frac{3}{2}\) oraz \(a\cdot0-b\cdot0+c=\frac{3}{2}\) oraz \(-\frac{b^2-4ac}{4a}=6\),
3 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do równania z jedną niewiadomą np. \(\frac{3}{2}=a(0+3)^2+6\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że współczynnik \(b=3\) oraz \(c=\frac{3}{2}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(115\) wiatraków, a zysk wyniesie \(13055zł\)

Krok 1. Zapisanie wzoru na zysk.
Zysk to różnica między przychodami i kosztami. Wiemy, że przychód możemy opisać jako \(251x\), a koszty to \(x^2+21x+170\). To oznacza, że zysk jest równy:
$$251x-(x^2+21x+170)=251x-x^2-21x-170=-x^2+230x-170$$

To oznacza, że zysk możemy zapisać w postaci funkcji \(Z(x)=-x^2+230x-170\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli (czyli liczby sprzedanych wiatraków, aby zysk był największy).
Otrzymana funkcja \(Z(x)=-x^2+230x-170\) jest funkcją kwadratową, której ramiona będą skierowane do dołu (bo współczynnik \(a\) jest ujemny). Chcemy, by zysk był jak największy, czyli tak naprawdę szukamy największej wartości naszej funkcji \(Z(x)\). Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że w takim przypadku ta największa wartość przyjmowana będzie w wierzchołku. Obliczmy zatem współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli. Korzystając ze wzoru \(p=\frac{-b}{2a}\) i wiedząc, że \(a=-1\) oraz \(b=230\), możemy zapisać, że:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-230}{2\cdot(-1)} \\
p=\frac{-230}{-2} \\
p=115$$

To oznacza, że nasza funkcja przyjmuje największą wartość dla argumentu \(x=115\). Ta wartość mieści się w przedziale \(x\in(0;150\rangle\), więc ta odpowiedź jest dla nas ostateczna. Mówiąc wprost, największe zyski osiągniemy przy produkcji \(115\) wiatraków.

Krok 3. Obliczenie największego zysku.
Wiemy już, że największy zysk osiągniemy, gdy liczba wiatraków będzie równa \(x=115\). To, ile wyniesie ten zysk możemy obliczyć na dwa sposoby - możemy obliczyć współrzędną \(q\) wierzchołka paraboli ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\) lub też podstawiając po prostu \(x=115\) to wzoru naszej funkcji opisującej zysk, czyli \(Z(x)=-x^2+230x-170\). Prostsza jest chyba ta druga metoda (uważajmy tylko na znaki!), zatem:
$$Z(115)=-115^2+230\cdot115-170 \\
Z(115)=-13225+26450-170 \\
Z(115)=13055$$

To oznacza, że największy zysk wynosi \(13055\ złotych.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że \(Z(x)=P(x)-K(x)\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny wzór funkcji z której obliczymy zysk (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli i dostrzeżesz, że mieści się ona w dziedzinie funkcji (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(50\times50\) oraz \(P=1250\)

Krok 1. Zapisanie zależności między bokami równoległoboku.
Równoległobok ma dwie pary boków jednakowej długości. Skoro więc obwód ten jest równy \(200\), to możemy zapisać, że:
$$2a+2b=200 \\
a+b=100 \\
b=100-a$$

Dodatkowo powinniśmy dostrzec, że długość boku \(b\) musi być dodatnia, stąd też:
$$100-a\gt0 \\
-a\gt-100 \\
a\lt100$$

Krok 2. Zapisanie zależności między polem powierzchni i długością boku \(a\).
$$P=a\cdot b\cdot sin30° \\
P=a\cdot(100-a)\cdot\frac{1}{2} \\
P=(100a-a^2)\cdot\frac{1}{2} \\
P=-\frac{1}{2}a^2+50a$$

Krok 3. Obliczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli.
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-50}{2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)} \\
p=\frac{-50}{-1} \\
p=50$$

Otrzymany wynik oznacza, że funkcja osiąga więc największą wartość dla argumentu równego \(50\), co w naszym przypadku oznacza, że \(a=50\).

Krok 4. Obliczenie długości \(b\).
Skoro \(a=50\), to zgodnie z zapisami z pierwszego kroku, długość drugiego boku tej figury będzie równa:
$$b=100-a \\
b=100-50 \\
b=50$$

To w praktyce oznacza, że poszukiwanym równoległobokiem będzie tak naprawdę romb o boku \(50\).

Krok 5. Obliczenie pola równoległoboku.
Musimy jeszcze obliczyć pole tego równoległoboku, zatem:
$$P=a\cdot b\cdot sin30° \\
P=50\cdot50\cdot\frac{1}{2} \\
P=2500\cdot\frac{1}{2} \\
P=1250$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie typu \(2a+2b=200\) (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór na pole \(P=ab\cdot sin30°\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz pole równoległoboku z użyciem tylko jednej niewiadomej (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli (patrz: Krok 3.) i zapiszesz dziedzinę funkcji (patrz: Krok 1.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=100\) oraz \(y=75\)

Krok 1. Zapisanie równań.
Wiemy, że długość płotu wynosi \(580m\). Jak spojrzymy na rysunek, to zauważymy, że ten płot musi znaleźć się na trzech odcinkach o długości \(x\) (dwie granice zewnętrzne oraz wewnętrzna) oraz na czterech odcinkach o długości \(y\), które są pomniejszone dwukrotnie o \(10m\). To oznacza, że możemy zapisać następujące równanie:
$$3x+4y-20=580 \\
3x+4y=600$$

Dodatkowo wiemy, że pole powierzchni obliczamy ze wzoru \(P=ab\), co po podstawianiu danych z rysunku możemy zapisać jako:
$$P=x\cdot2y$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Aby tego dokonać, wyznaczmy wartość \(y\) z równania \(3x+4y=600\).
$$3x+4y=600 \\
4y=600-3x \\
y=150-\frac{3}{4}x$$

Podstawiając teraz \(y=150-\frac{3}{4}x\) do równania \(P=x\cdot2y\) otrzymamy:
$$P=x\cdot2\cdot\left(150-\frac{3}{4}x\right) \\
P=2x\cdot\left(150-\frac{3}{4}x\right) \\
P=300x-\frac{6}{4}x^2 \\
P=-\frac{6}{4}x^2+300x$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni działki można opisać wzorem \(-\frac{6}{4}x^2+300x\). Całość możemy potraktować tak jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretną wartość \(P\)).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-\frac{6}{4}\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) ta pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-300}{2\cdot\left(-\frac{6}{4}\right)} \\
x_{W}=\frac{-300}{-3} \\
x_{W}=100$$

Wiemy już, że największa wartość jest przyjmowana, gdy \(x=100\). Gdybyśmy chcieli obliczyć ile wynosi ta największa wartość, to moglibyśmy skorzystać ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\), ale nas to nie interesuje. My musimy poznać wartość \(y\). Skoro tak, to wracamy do równania \(y=150-\frac{3}{4}x\) i podstawiając teraz \(x=100\), otrzymamy:
$$y=150-\frac{3}{4}x \\
y=150-\frac{3}{4}\cdot100 \\
y=150-75 \\
y=75$$

To oznacza, że powierzchnia magazynu będzie największa wtedy, gdy \(x=100\) oraz \(y=75\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie \(3x+4y-20=580\) lub \(P=x\cdot2y\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na pole powierzchni korzystając z jednej niewiadomej np. \(P=2x\cdot\left(150-\frac{3}{4}x\right)\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz, że \(x=100\) (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wymiary \(\frac{3}{2}\times2\) natomiast \(P=3\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia do naszego rysunku, które umożliwią nam dalsze rozwiązywanie:


Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów podobnych i zapisanie równań.
Powinniśmy zauważyć, że prostokąt wydzielił nam na rysunku także dwa mniejsze trójkąty prostokątne, czyli \(DBE\) oraz \(FEC\). Wszystkie te trójkąty (łącznie z głównym \(ABC\)) mają jednakowe kąty, więc możemy uznać je za podobne (na podstawie cechy kąt-kąt-kąt). To pozwoli nam ułożyć proporcję dotyczącą długości boków w tych trójkątach. Przykładowo, stosunek długości przyprostokątnych górnego trójkąta prostokątnego \(FEC\) o długościach \(3-x\) oraz \(y\) musi być taki sam, jak stosunek długości przyprostokątnych głównego trójkąta prostokątnego \(ABC\) o bokach \(3\) i \(4\). Możemy więc zapisać, że:
$$\frac{3-x}{y}=\frac{3}{4}$$

Mnożąc teraz na krzyż, otrzymamy:
$$(3-x)\cdot4=y\cdot3 \\
12-4x=3y \\
y=4-\frac{4}{3}x$$

Dodatkowo możemy od razu zapisać, że pole prostokąta wyznaczymy ze wzoru:
$$P=x\cdot y$$

Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu przy tego typu zadaniach jest poprawne zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Podstawiając \(y=4-\frac{4}{3}x\) do równania \(P=x\cdot y\), otrzymamy:
$$P=x\cdot(4-\frac{4}{3}x) \\
P=4x-\frac{4}{3}x^2 \\
P=-\frac{4}{3}x^2+4x$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni prostokąta można opisać wzorem \(-\frac{4}{3}x^2+4x\). W ten sposób udało nam się zapisać wzór na pole z użyciem tylko jednej niewiadomej. Teraz całość możemy potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretne pole \(P\)). Zapisalibyśmy więc, że \(P(x)=-\frac{4}{3}x^2+4x\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Tutaj parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-\frac{4}{3}\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) osiągniemy jak największe pole \(P\). Z własności parabol wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) to największe pole jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-4}{2\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)} \\
x_{W}=\frac{-4}{-\frac{8}{3}} \\
x_{W}=(-4):\left(-\frac{8}{3}\right) \\
x_{W}=(-4)\cdot\left(-\frac{3}{8}\right) \\
x_{W}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$$

Krok 5. Wyznaczenie długości drugiego boku prostokąta i obliczenie pola powierzchni.
Wyliczyliśmy, że pole powierzchni będzie największe gdy jeden z boków prostokąta będzie miał długość \(x=\frac{3}{2}\). Zgodnie z treścią zadania, musimy jeszcze obliczyć długość drugiego boku, zatem korzystając z wcześniej zapisanego równania \(y=4-\frac{4}{3}x\), otrzymamy:
$$y=4-\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2} \\
y=4-\frac{12}{6} \\
y=2$$

To oznacza, że pole naszego prostokąta będzie równe:
$$P=\frac{3}{2}\cdot2 \\
P=3$$