Rozwiązanie
Krok 1. Potraktowanie ciągu jako funkcji.
Potraktujmy nasz ciąg jak funkcję, która jest określona jedynie dla argumentów będących liczbami naturalnymi. Funkcja swoją najmniejszą lub największą wartość przyjmuje w wierzchołku \(W=(p;q)\). To oznacza, że tak naprawdę interesować nas będzie poznanie współrzędnych wierzchołka paraboli, ale z zastrzeżeniem, że współrzędna \(p\) musi być liczbą naturalną.
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(p\).
Współrzędną \(p\) obliczymy ze wzoru:
$$p=\frac{-b}{2a}$$
Ze wzoru ciągu możemy odczytać, że \(b=-24\) oraz \(a=\frac{3}{4}\). W związku z tym:
$$p=\frac{-(-24)}{2\cdot\frac{3}{4}} \\
p=\frac{24}{\frac{3}{2}} \\
p=24:\frac{3}{2} \\
p=24\cdot\frac{2}{3} \\
p=16$$
Współrzędna \(p\) jest liczbą naturalną i to jest bardzo dobra wiadomość, bo za chwilę będziemy mogli podstawić tę liczbę do wzoru naszego ciągu. Gdyby się okazało, że \(p\) jest równe np. \(16\frac{1}{5}\), to w kolejnym kroku musielibyśmy sprawdzić wartość funkcji dla argumentów \(n=16\) oraz \(n=17\).
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnej \(q\).
Współrzędną \(q\) moglibyśmy wyznaczyć ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\), ale skoro znamy wartość współrzędnej \(p=16\) to możemy po prostu podstawić do wzoru wartość \(n=16\) i w ten sposób obliczymy wartość przyjmowaną w tym wierzchołku, czyli wartość współrzędnej \(q\). Zatem:
$$q=\frac{3}{4}\cdot16^2-24\cdot16+90 \\
q=\frac{3}{4}\cdot256-384+90 \\
q=\frac{3}{4}\cdot256-384+90 \\
q=192-384+90 \\
q=-102$$
To oznacza, że najmniejszą wartością przyjmowaną przez ten ciąg jest wartość \(16\)-stego wyrazu i jest ona równa \(-102\).
Ok. ale jak inaczej rozwiązać bez wykonywania wykresu czyli nie traktując tego ciągu określonego podanym wzorem jako funkcja kwadratowa. A co jak będzie wzór podany z którego nie będzie wynikać że jest to funkcja kwadratowa.?
Na moje oko, to ten sposób który tutaj podałem jest chyba jedynym sensownym. Gdyby to nie była funkcja kwadratowa (a np. liniowa) to najmniejszy wyraz ciągu miałby wartość „minus nieskończoność” więc takiego przypadku raczej nie będzie ;)