Wykaż, że jeżeli a i b są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to (a+b)(1/a+1/b)≥4

Wykaż, że jeżeli \(a\) i \(b\) są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to \((a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\ge4\).

Rozwiązanie

Skoro \(a\) oraz \(b\) są liczbami dodatnimi, to możemy być pewni że dzieląc lub mnożąc obie strony nierówności przez te niewiadome nie będziemy musieli zmieniać znaku nierówności na przeciwny. W związku z tym możemy zacząć przekształcać naszą nierówność. Najlepiej będzie zacząć od wymnożenia wartości w nawiasach:
$$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4 \\
1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\ge4 \\
\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2 \quad\bigg/\cdot b \\
a+\frac{b^2}{a}\ge2b \quad\bigg/\cdot a \\
a^2+b^2\ge2ab \\
a^2-2ab+b^2\ge0 \\
(a-b)^2\ge0$$

Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Odpowiedź

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Dodaj komentarz