Egzamin gimnazjalny – Matematyka – 2002 – Odpowiedzi

C

Ważną informacją jest to, że każdy uczeń podał tylko jeden rodzaj zainteresowań. W związku z tym, aby dowiedzieć się ilu uczniów brało udział w ankiecie, wystarczy zsumować głosy oddane na poszczególne zainteresowania, zatem:
$$70+130+40+20+30+60=350$$

A

Skoro kolarstwem interesuje się \(60\) uczniów, a informatyką aż \(130\) uczniów, to kolarstwem interesuje się \(130-60=70\) uczniów mniej.

B

Aby móc obliczyć procent zainteresowanych pływaniem musimy najpierw wiedzieć ilu uczniów brało udział w ankiecie. Skoro każdy uczeń mógł wybrać tylko jedno zainteresowanie, to oznacza że wystarczy zsumować wszystkie wyniki z wykresu i poznamy w ten sposób liczbę uczestników ankiety, zatem:
$$70+130+40+20+30+60=350$$

To oznacza, że w ankiecie brało udział \(350\) uczniów.

Krok 2. Obliczenie procentu uczniów interesujących się pływaniem.
Skoro w ankiecie brało udział \(350\) uczniów, a pływanie wybrało \(70\) osób, to oznacza że pływaniem interesuje się:
$$\frac{70}{350}\cdot100\%=\frac{1}{5}\cdot100\%=20\%$$

B

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Kluczem do sukcesu jest poprawne zapisanie liczby znaczków w postaci wyrażeń algebraicznych. Nie wiemy ile znaczków ma Jacek, ani ile znaczków ma Paweł, ale możemy zapisać, że:
\(x\) - liczba znaczków Pawła
\(x+30\) - liczba znaczków Jacka

Musimy zapisać liczbę znaczków Jacka jako \(x+30\), bo z treści zadania wynika że Jacek ma o \(30\) znaczków więcej.

Krok 2. Zbudowanie i rozwiązanie powstałego równania.
Z treści zadania wiemy, że razem chłopcy mają \(350\) znaczków, zatem możemy zapisać że:
$$x+(x+30)=350 \\
2x+30=350 \\
2x=320 \\
x=160$$

Skoro iksem jest liczba znaczków Pawła, to oznacza że Paweł ma \(160\) znaczków.

B

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Musimy zapisać w matematyczny sposób informację o tym, że znaczek australijski jest pięciokrotnie droższy od znaczka krajowego. Zapiszmy więc zatem, że:
\(x\) - cena znaczka krajowego
\(5x\) - cena znaczka australijskiego

Zapis \(5x\) bierze się właśnie stąd, że znaczek australijski jest pięciokrotnie droższy.

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie powstałego równania.
Paweł kupił \(3\) znaczki krajowe oraz \(1\) znaczek australijski i zapłacił za nie \(16zł\). Możemy więc ułożyć równanie:
$$3\cdot x+1\cdot5x=16zł \\
3x+5x=16zł \\
8x=16zł \\
x=2zł$$

Krok 3. Obliczenie ceny znaczka australijskiego.
\(x=2zł\) to nie jest jeszcze dobre rozwiązanie, bo za iksa przyjęliśmy cenę znaczka krajowego, a musimy podać cenę znaczka australijskiego, a ta wynosi \(5x\), czyli:
$$5\cdot2zł=10zł$$

D

Powyższa figura ma dokładnie dwie osie symetrii oraz ma jeden środek symetrii:

C

Krok 1. Interpretacja danych z treści zadania.
Na początku musimy sobie dobrze przeanalizować to zadanie i ustalić chociażby to ile kilometrów pokona każdy z rowerzystów. Skoro Marta i Jacek spotkali się w połowie drogi od swoich miejsc zamieszkania, które są oddalone o \(8km\), to zarówno Marta jak i Jacek przejechali \(4km\).
Zanim przejdziemy do obliczeń, to spróbujmy też ustalić o której godzinie mógłby wyjechać Jacek - czy to będzie przed godziną 14:00, czy też po? Skoro Jacek jechał szybciej, to i czas jazdy miał mniejszy, bo szybciej pokonał swój dystans. Skoro tak, to na pewno wyjechał później, czyli po 14:00. Ta prosta analiza już na wstępie pozwala nam ograniczyć się do dwóch ostatnich odpowiedzi.

Krok 2. Obliczenie czasu jazdy Marty.
Marta jechała z prędkością \(v=16 km/h\), zatem dystans \(s=4km\) pokonała w czasie:
$$v=\frac{s}{t} \\
vt=s \\
t=\frac{s}{v} \\
t=\frac{4km}{16km/h} \\
t=\frac{1}{4}h=15min$$

Krok 3. Obliczenie czasu jazdy Jacka.
$$t=\frac{s}{v} \\
t=\frac{4km}{20km/h} \\
t=\frac{1}{5}h=12min$$

Krok 4. Ustalenie czasu wyjazdy Jacka.
Z obliczeń w kroku drugim i trzecim wynika, że Jacek jechał \(3\) minuty szybciej. Skoro tak, to zgodnie z tym co sobie zapisaliśmy w pierwszym kroku - wyjedzie on \(3\) minuty po Marcie, czyli o godzinie 14:03.

A

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń i zapisanie równań.
Musimy zapisać cenniki obydwu wypożyczalni w formie równań z niewiadomą \(x\). Jeżeli za iksa przyjmiemy liczbę godzin używania nart, to możemy zapisać że:
Wypożyczalnia Super: \(10zł+x\cdot5zł\)
Wypożyczalnia Ekstra: \(18zł+x\cdot3zł\)

Krok 2. Zapisanie równania i wyznaczenie poszukiwanej niewiadomej.
Musimy odpowiedzieć na pytanie kiedy koszt wypożyczenia nart z tych dwóch wypożyczalni będzie taki sam, czyli będzie sobie równy. Skoro tak, to szukamy sytuacji w której:
$$10zł+x\cdot5zł=18zł+x\cdot3zł$$

Musimy teraz rozwiązać to równanie i zobaczymy w ten sposób po ilu godzinach używania nart ceny z tych dwóch wypożyczalni się zrównają. Możemy dla ułatwienia pozbyć się jednostek:
$$10+5x=18+3x \\
2x=8 \\
x=4$$

Skoro iksem jest liczba godzin używania nart, to koszt wypożyczenia będzie taki sam po \(4\) godzinach użytkowania.

B

Krok 1. Analiza rysunku.
Zauważmy, że ślad na śniegu składa się tak naprawdę z trzech części, z których każda jest połową obwodu jakiegoś okręgu. Pierwszy łuk jest połową okręgu o średnicy \(800m\), drugi łuk jest połową okręgu o średnicy \(400m\), a trzeci łuk jest połową okręgu o średnicy \(200m\).


Krok 2. Obliczenie połówek obwodu każdego z trzech okręgów.
Wiemy już, że jak poznamy długości trzech obwodów okręgów (a w zasadzie ich połówek) to w prosty sposób dojdziemy do rozwiązania zadania. Wzór na obwód okręgu jest następujący:
$$Obw=2πr$$

Skoro potrzebujemy długości połowy okręgu, to możemy nawet zapisać, że wzór na pojedynczy łuk to:
$$Łuk=\frac{1}{2}\cdot2πr=πr$$

I tu uwaga, bo ukryła się tutaj największa pułapka. We wzorze musimy skorzystać z promienia okręgu, natomiast my na rysunku mamy zaznaczone średnice! Promień jest dwa razy mniejszy od średnicy, zatem:
I łuk: \(r=400m\)
II łuk: \(r=200m\)
III łuk: \(r=100m\)

Teraz możemy przystąpić do obliczeń:
I łuk: \(πr=400π\;m\)
II łuk: \(πr=200π\;m\)
III łuk: \(πr=100π\;m\)

Krok 3. Obliczenie długości trasy.
Suma trzech łuków jest poszukiwaną przez nas długością trasy, zatem:
$$400π\;m+200π\;m+100π\;m=700π\;m$$

C

Krok 1. Obliczenie różnicy temperatur.
Na początek obliczmy jaka jest różnica temperatur między wjazdem do tunelu, a najwyższym wzniesieniem. Skorzystać tu możemy z prostej proporcji:
Skoro na \(100m\) temperatura jest niższa o \(0,6°C\)
To na \(1800m\) temperatura jest niższa o \(18\cdot0,6°C=10,8°C\)

Krok 2. Obliczenie temperatury na wjeździe.
Skoro na szczycie mamy \(-10°C\) i wiemy, że na dole jest o \(10,8°C\) cieplej, to na dole będziemy mieć temperaturę:
$$-10°C+10,8°C=0,8°C\approx1°C$$

A

Krok 1. Zamiana minut na sekundu.
Kluczem do sukcesu jest tak naprawdę pamiętanie o ujednoliceniu jednostek. Jeżeli mamy podać wynik w \(m/s\), to dobrze jest już na samym początku przeliczyć na sekundy czas \(10\) minut.
$$10min.=600s$$

Krok 2. Obliczenie długości trasy.
Wiemy już, że \(t=600s\) oraz \(s=1200m\). Musimy teraz obliczyć prędkość, co zrobimy wykorzystując klasyczny wzór:
$$v=\frac{s}{t} \\
v=\frac{1200m}{600s} \\
v=2m/s$$

D

Trzem bitom odpowiadają następujące wartości:
$$000, 010, 001, 011 \\
100, 110, 101, 111$$

Takich możliwości ułożenia kombinacji mamy więc \(8\).

A

Krok 1. Ustalenie planet mniejszych od Ziemi.
Na początku ustalmy które to planety mają mniejszą masę od Ziemi. To będą wszystkie te, które w kolumnie "Masa planety w stosunku do masy Ziemi" mają wpisaną wartość mniejszą niż \(1\), czyli: Merkury, Wenus, Mars oraz Pluton.

Krok 2. Odczytanie liczby księżyców z tabeli.
Merkury - \(0\) księżyców
Wenus - \(0\) księżyców
Mars - \(2\) księżyce
Pluton - \(1\) księżyc

Najwięcej księżyców ma zatem Mars.

B

W stolicy Mongolii mieszka \(627\) tysięcy osób. Wszystkich mieszkańców tego kraju jest \(2538\) tysięcy. To oznacza, że mieszkańcy stolicy stanowią w przybliżeniu:
$$\frac{627}{2538}\approx\frac{1}{4}$$

W stolicy Mongolii mieszka więc około \(\frac{1}{4}\) ludności, a to oznacza że mieszka tam prawie co czwarty mieszkaniec.

B

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Mamy ułożyć równanie pozwalające obliczyć nam cenę monitora, czyli najlepiej będzie jeżeli za niewiadomą \(x\) przyjmiemy cenę monitora. Skoro drukarka jest tańsza o \(300zł\) od monitora, to cenę drukarki moglibyśmy zapisać jako \(x-300\). Mamy zatem:
\(x\) - cena monitora
\(x-300\) - cena drukarki

Krok 2. Ułożenie poprawnego równania.
Skoro zakupiono \(8\) monitorów po cenie \(x\) oraz \(6\) drukarek w cenie \(x-300\) i zapłacono za to \(9400zł\), to poszukiwanym równaniem będzie:
$$8\cdot x+6\cdot(x-300)=9400$$

Takie równanie znalazło się w drugiej odpowiedzi.

Akwarium będzie sięgać do wysokości \(2dm\).

Krok 1. Obliczenie pola podstawy prostopadłościanu.
Akwarium jest tak naprawdę prostopadłościanem w którego podstawie znajduje się prostokąt o wymiarach \(8dm\times5dm\). Pole podstawy tego prostopadłościanu jest więc równe:
$$P_{p}=8dm\cdot5dm=40dm^2$$

Krok 2. Obliczenie objętości wody.
Woda przepływa z prędkością \(8dm^3\) na minutę. Po \(10\) minutach będziemy więc mieć tej wody:
$$V=8dm^3\cdot10=80dm^3$$

Krok 3. Obliczenie wysokości sięgania wody.
\(80dm^3\) wody wlewa się do prostopadłościanu o podstawie \(40dm^2\). Musimy więc wyliczyć jak wysoko sięgnie ten słup wody, a skorzystamy tutaj ze wzoru na objętość:
$$V=P_{p}\cdot H \\
80dm^3=40dm^2\cdot H \\
H=2dm$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pole podstawy akwarium (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz objętość wody wpływającej przez kran w ciągu \(10\) minut (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz pole podstawy akwarium oraz objętość wody wpływającej przez kran w ciągu \(10\) minut (Krok 1. i 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Odległość między domem i jeziorem wynosi \(16km\).

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - poszukiwana odległość między domem Marcina i jeziorem
\(\frac{3}{4}x\) - odległość pokonana autobusem
\(\frac{1}{4}x\) - odległość pokonana pieszo

Trasa pokonana pieszo jest o \(8km\) krótsza od trasy pokonanej autobusem, zatem:
$$\frac{3}{4}x-8=\frac{1}{4}x$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Musimy teraz rozwiązać zapisane powyżej równanie, a otrzymana wartość \(x\) będzie poszukiwaną odległością. Najprościej będzie od razu pozbyć się ułamków, mnożąc obydwie strony równania przez \(4\):
$$\frac{3}{4}x-8=\frac{1}{4}x \quad\bigg/\cdot4 \\
3x-32=x \\
2x=32 \\
x=16[km]$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że droga pokonana pieszo stanowi \(\frac{1}{4}x\) (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy ułożysz odpowiednie równanie (np. \(\frac{3}{4}x-8=\frac{1}{4}x\)) pozwalające obliczyć niewiadomą \(x\) i na tym zakończysz rozwiązywanie lub popełnisz błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Pole powierzchni latawca wynosi \(400cm^2\).

Krok 1. Wyznaczenie długości odcinków w skali \(1:1\).
Podane wymiary \(|AC|=4cm\) oraz \(|BD|=2cm\) dotyczą rysunku w skali \(1:10\). Naszym zadaniem będzie obliczenie pola powierzchni latawca takiego jakim jest w rzeczywistości, czyli w skali \(1:1\), więc od razu obliczmy rzeczywiste długości podanych wymiarów.

Skala \(1:10\) oznacza, że dany obiekt na rysunku został pomniejszony dziesięciokrotnie. A skoro tak, to w skali \(1:1\) będziemy mieć:
$$|AC|=4cm\cdot10=40cm \\
|BD|=2cm\cdot10=20cm$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni latawca.
Latawiec jest figurą zwaną deltoidem, której pole wyliczymy ze wzoru:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|BD|$$

Długości odcinków \(AC\) oraz \(BD\) są już znane, zatem musimy je tylko podstawić do wzoru na pole powierzchni deltoidu:
$$P=\frac{1}{2}\cdot40cm\cdot20cm \\
P=400cm^2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie wymiary deltoidu w skali \(1:1\) (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole deltoidu z podanych wymiarów w skali \(1:10\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Większą powierzchnię boczną ma druga czapeczka.

Musimy obliczyć ile papieru zużyto na każdą z czapeczek, czyli tak naprawdę musimy obliczyć pole powierzchni bocznej obydwu brył.
Krok 1. Obliczenie pola powierzchni bocznej pierwszej czapki.
Pierwsza czapka jest w kształcie ostrosłupa sześciokątnego foremnego. W ścianach bocznych mamy trójkąty o podstawie \(10cm\) i wysokości \(30cm\). Zatem każdy taki trójkąt ma pole powierzchni równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot10cm\cdot30cm \\
P=150cm^2$$

Z racji tego iż powierzchnią boczną stanowi sześć takich trójkątów to pole powierzchni bocznej będzie równe:
$$P_{b1}=6\cdot150cm^2 \\
P_{b1}=900cm^2$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni bocznej drugiej czapki.
Druga czapka jest w kształcie stożka. Jego pole powierzchni bocznej wyliczymy ze wzoru:
$$P_{b}=πrl$$

Potrzebujemy więc znać długość promienia \(r\) oraz długość tworzącej stożka \(l\). Długość tworzącej jest znana: \(l=30cm\). Pułapką jest natomiast długość promienia, bo na rysunku mamy podaną długość średnicy. Skoro średnica jest równa \(20cm\), to promień będzie równy: \(r=10cm\).

Mając komplet danych możemy je podstawić do wzoru:
$$P_{b2}=π\cdot10cm\cdot30cm \\
P_{b2}=300π\;cm^2$$

Krok 3. Porównanie pól powierzchni bocznych obydwu czapek.
Musimy porównać teraz otrzymane pola powierzchni, gdyż musimy odpowiedzieć na pytanie która czapka zużyła więcej papieru. Aby dokonać tego porównania musimy obliczyć przybliżenie pola powierzchni bocznej drugiej czapki, stosując przybliżenie \(π=3,14\). Zatem:
$$P_{b2}=300π cm^2=300cm^2\cdot3,14=942cm^2$$

Teraz wyraźnie widzimy, że większą powierzchnię boczną ma druga czapka, bo:
$$942cm^2\gt900cm^2\\
P_{b2}\gt P_{b1}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni bocznej tylko pierwszej czapki (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole powierzchni bocznej tylko drugiej czapki (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz pola powierzchni bocznych obydwu czapek (Krok 1. i 2.).
3 pkt
• Gdy porównasz pola powierzchni bocznych obydwu czapek i otrzymasz oczekiwany wynik.