Wariancja

Wariancję możemy obliczyć korzystając z jednego z dwóch wzorów:

$$σ^2=\frac{(x_{1}-\bar{a})^2+(x_{2}-\bar{a})^2+…+(x_{n}-\bar{a})^2}{n} \\
σ^2=\frac{{x_{1}}^2+{x_{2}}^2+…+{x_{n}}^2}{n}-(\bar{a})^2$$

\(x_{1}, x_{2}, x_{3}…\) – poszczególne liczby z których liczymy wariancję
\(\bar{a}\) – średnia arytmetyczna tych liczb

Wariancję oznaczamy symbolem \(σ^2\), dlatego kiedy otrzymamy wynik typu \(σ^2=15\), to nie musimy już pozbywać się tej potęgi po lewej stronie, tylko po prostu musimy zapisać, że wariancja jest równa \(15\). Warto też nadmienić, że pierwiastek z wariancji to odchylenie standardowe, które oznaczamy symbolem \(σ\).

Przykład 1. Oblicz wariancję liczb: \(-2, 10, 1\).

Do obliczenia wariancji potrzebować będziemy średniej arytmetycznej tych liczb, zatem:
$$\bar{a}=\frac{-2+10+1}{3} \\
\bar{a}=\frac{9}{3} \\
\bar{a}=3$$

Teraz możemy przejść do wariancji i przy okazji możemy sobie przetestować obydwa wzory:
I sposób:
$$\begin{split}σ^2=\frac{(x_{1}-\bar{a})^2+(x_{2}-\bar{a})^2+(x_{3}-\bar{a})^2}{3}\end{split} \\
\begin{split}σ^2=\frac{(-2-3)^2+\left((10-3)-2\right)^2+(1-3)^2}{3}\end{split} \\
\begin{split}σ^2=\frac{(-5)^2+7^2+(-2)^2}{3}\end{split} \\
\begin{split}σ^2=\frac{25+49+4}{3}\end{split} \\
\begin{split}σ^2=\frac{78}{3}=26\end{split}$$

II sposób:
$$\begin{split}σ^2=\frac{{x_{1}}^2+{x_{2}}^2+{x_{3}}^2}{3}-(\bar{a})^2\end{split} \\
\begin{split}σ^2=\frac{(-2)^2+10^2+1^2}{3}-3^2\end{split} \\
\begin{split}σ^2=\frac{4+100+1}{3}-9\end{split} \\
\begin{split}σ^2=\frac{105}{3}-9\end{split} \\
\begin{split}σ^2=35-9\end{split} \\
\begin{split}σ^2=26\end{split}$$

Częściej chyba spotyka się rozwiązania tym pierwszym sposobem, aczkolwiek druga metoda ma jedną ogromną zaletę – tylko raz wykonujemy potęgowanie (potęgujemy tylko średnią). W tym powyższym przykładzie nie miało to może większego znaczenia, ale gdyby średnia arytmetyczna była jakimś ułamkiem, to znacznie łatwiej by nam się liczyło właśnie z tej drugiej metody.

Przykład 2. Oblicz wariancję następujących ocen z matematyki: \(6, 4, 3, 5\).

Na początku obliczmy średnią:
$$\bar{a}=\frac{6+4+3+5}{4} \\
\bar{a}=\frac{18}{4} \\
\bar{a}=4,5$$

I tutaj właśnie widać będzie zaletę tego drugiego sposobu, bo tylko raz będziemy musieli podnieść coś do kwadratu. Korzystając zatem z tego drugiego wzoru możemy zapisać, że:
$$\begin{split}σ^2=\frac{6^2+4^2+3^2+5^2}{4}-4,5^2\end{split} \\
\begin{split}σ^2=\frac{36+16+9+25}{4}-4,5^2\end{split} \\
\begin{split}σ^2=\frac{36+16+9+25}{4}-4,5^2\end{split} \\
\begin{split}σ^2=\frac{86}{4}-4,5^2\end{split} \\
\begin{split}σ^2=21,5-20,25\end{split} \\
\begin{split}σ^2=1,25\end{split}$$

Dodaj komentarz