W układzie współrzędnych dane są punkty A=(-43,-12), B=(50,19). Prosta AB przecina oś Ox w punkcie P

W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(-43,-12)\), \(B=(50,19)\). Prosta \(AB\) przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\). Oblicz pierwszą współrzędną punktu \(P\).

Rozwiązanie:
Krok 1. Ustalenie wzoru prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\).

Aby poznać wzór tej prostej musimy stworzyć prosty układ równań. Do wzoru ogólnego w postaci \(y=ax+b\) podstawimy współrzędne punktu \(A\), a następnie punktu \(B\). Otrzymamy w ten sposób:
\begin{cases}
-12=-43a+b \\
19=50a+b
\end{cases}

Możemy ten układ rozwiązać w dowolny sposób, ale najprościej jest odjąć go od siebie stronami, dzięki czemu pozbędziemy się \(b\), zatem:
$$-31=-93a \\
a=\frac{1}{3}$$

Znając współczynnik \(a\) możemy teraz podstawić go do któregoś z równań i wyznaczyć w ten sposób współczynnik \(b\).
$$19=50\cdot\frac{1}{3}+b \\
\frac{57}{3}=\frac{50}{3}+b \\
b=\frac{7}{3}$$

Wzór prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\) to: \(y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\).

Krok 2. Obliczenie pierwszej współrzędnej punktu \(P\).

Skoro nasza prosta przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\), to znaczy że \(P=(x;0)\). Musimy wyznaczyć współrzędną \(x\) punktu \(P\), więc wystarczy przyrównać wzór naszej prostej do zera:
$$\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}=0 \quad\bigg/\cdot3 \\
x+7=0 \\
x=-7$$

To oznacza, że pierwszą współrzędną jest \(x=-7\), a pełne współrzędne tego punktu to \(P=(-7;0)\).

Odpowiedź:

\(P=(-7;0)\), więc pierwszą współrzędną jest \(x=-7\).

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.