W trójkącie \(ABC\) dane są długości boków \(|AB|=15\) i \(|AC|=12\) oraz \(cosα=\frac{4}{5}\), gdzie \(α=\sphericalangle BAC\). Na bokach \(AB\) i \(AC\) tego trójkąta obrano punkty odpowiednio \(D\) i \(E\) takie, że \(|BD|=2|AD|\) i \(|AE|=2|CE|\) (zobacz rysunek).
Oblicz pole:
a) trójkąta \(ADE\)
b) czworokąta \(BCED\)
Zaznaczmy sobie na naszym rysunku zależności między bokami, które zostały wypisane z treści zadania. To ułatwi zrozumienie wszystkich obliczeń długości, które wykonamy sobie w kolejnych krokach.
Wartość sinusa kąta \(α\) za chwilę przyda nam się do obliczenia pola trójkąta. W treści zadania mamy podaną wartość cosinusa, zatem do obliczenia sinusa skorzystamy z jedynki trygonometrycznej:
$$sin^2α+cos^2=1 \\
sin^2α+\left(\frac{4}{5}\right)^2=1 \\
sin^2a+\frac{16}{25}=1 \\
sin^2α=\frac{9}{25} \\
sinα=\frac{3}{5} \quad\lor\quad sinα=-\frac{3}{5}$$
Ujemną wartość odrzucamy, bo sinus kąta ostrego jest dodatni.
Odcinek \(AD\) jest częścią odcinka \(AB\). Z rysunku widzimy, że cała długość odcinka \(AB\) to \(x+2x=3x\) i zgodnie z treścią zadania jest ona równa \(15\). Musimy obliczyć długość \(x\), zatem:
$$3x=15 \\
x=5$$
W ten oto sposób obliczyliśmy długość odcinka \(|AD|=5\).
Podobnie zrobimy w przypadku odcinka \(AE\), który jest częścią odcinka \(AC\).
$$3y=12 \\
y=4$$
Nasz odcinek \(AE\) opisaliśmy sobie jako \(2y\), więc jego długość jest równa \(|AE|=8\).
Skorzystamy z następującego wzoru:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sinα$$
Pole trójkąta \(ABC\):
$$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot |AC|\cdot sinα \\
P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot15\cdot12\cdot\frac{3}{5} \\
P_{ABC}=54$$
Pole trójkąta \(ADE\):
$$P_{ADE}=\frac{1}{2}\cdot |AD|\cdot |AE|\cdot sinα \\
P_{ADE}=\frac{1}{2}\cdot5\cdot8\cdot\frac{3}{5} \\
P_{ADE}=12$$
Pole powierzchni czworokąta \(BCED\) jest różnicą między polem dużego trójkąta \(ABC\) i małego trójkąta \(ADE\), zatem:
$$P_{BCED}=P_{ABC}-P_{ADE} \\
P_{BCED}=54-12 \\
P_{BCED}=42$$
\(P_{ADE}=12\) oraz \(P_{BCED}=42\)
