Matura – Matematyka – Przykładowy arkusz CKE (Formuła 2023)

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz podane wyrażenie do postaci typu \(4k(k+1)+2024\) lub innej podobnej, ale nie uzasadnisz dlaczego ta liczba jest podzielna przez \(8\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Jeżeli przyjmiemy, że \(k\) jest liczbą całkowitą, to liczbę nieparzystą możemy zapisać jako \(2k+1\). Podstawiając teraz tę wartość pod \(n\), otrzymamy:
$$(2k+1)^2+2023= \\
=4k^2+4k+1+2023= \\
=4k^2+4k+2024= \\
=4k(k+1)+2024$$

Przeanalizujmy teraz podaną sytuację, zaczynając od wyrażenia \(k(k+1)\). Jeżeli \(k\) jest całkowitą liczbą parzystą, to \(k+1\) jest liczbą nieparzystą, a iloczyn liczby parzystej i nieparzystej daje wynik parzysty. Analogicznie, gdy \(k\) jest liczbą nieparzystą, to \(k+1\) będzie parzyste, czyli tutaj także iloczyn tych dwóch liczb będzie parzysty.

Możemy więc powiedzieć, że mnożymy \(4\) przez liczbę, która jest na pewno parzysta, a do tego dodajemy \(2024\), które możemy rozpisać jako \(8\cdot253\). Pomnożenie \(4\) przez liczbę parzystą zawsze daje wynik podzielny przez \(8\), zatem liczba \(4k(k+1)+2024\) jest tak naprawdę sumą dwóch liczb podzielnych przez \(8\), co sprawia, że cała liczba też jest podzielna przez \(8\), co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie odczytasz współrzędne wierzchołka paraboli i zapiszesz wzór funkcji bez obliczenia współczynnika \(a\), czyli \(y=a(x-1)^2+8\).
2 pkt
• Gdy ułożysz równanie z podstawionymi współrzędnymi punktu, który odczytasz z wykresu.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Do wyznaczenia wzoru w postaci kanonicznej \(y=a(x-p)^2+q\) potrzebujemy współrzędnej wierzchołka \(W=(p;q)\). Z wykresu odczytujemy, że \(W=(1;8)\), zatem:
$$y=a(x-1)^2+8$$

Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\). Aby poznać tę wartość, musimy podstawić współrzędne jednego ze znanych punktów, który należy do wykresu tej funkcji. Najprościej będzie wziąć jedno z miejsc zerowych, czyli np. \(A=(-1;0)\). Podstawiając współrzędne tego punktu do wyznaczonego przed chwilą wzoru, otrzymamy:
$$0=a\cdot(-1-1)^2+8 \\
0=a\cdot(-2)^2+8 \\
0=4a+8 \\
a=-2$$

Przy okazji warto zauważyć, że współczynnik \(a\) wyszedł ujemny, co sugerowałoby, że ramiona paraboli będą skierowane do dołu, tak jak na wykresie. Dzięki takiej obserwacji możemy w prosty sposób zweryfikować poprawność rozwiązania.

Otrzymany wynik oznacza, że wzorem tej funkcji w postaci kanonicznej jest:
$$y=-2(x-1)^2+8$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozpiszesz masy leku pozostałe w organizmie z poszczególnych dawek (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy skorzystasz ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu i podstawisz do niego poprawne dane (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Analiza ilości leku w organizmie pacjenta.
Musimy sobie uzmysłowić, że przed przyjęciem jedenastej dawki tego leku, pacjent będzie miał śladowe ilości pierwszej dawki (śladowe, bo wraz z upływem czasu tego leku w organizmie jest coraz mniej), nieco większe drugiej dawki i całkiem spore wartości dziewiątej czy też dziesiątej dawki. Musimy też dostrzec, że termin "przed przyjęciem jedenastej dawki" oznacza, że od pierwszej dawki upłynęło \(t=40\) dni, a od dawki dziesiątej upłynęły raptem \(t=4\) dni. Zapiszmy zatem ile każdej z dawek zostało temu pacjentowi w organizmie, zaczynając może od najnowszej, czyli dziesiątej dawki.

Pacjent otrzyma jedenastą dawkę leku po upływie \(4\) dni od przyjęcia dziesiątej dawki. To oznacza, że z dziesiątej dawki w organizmie zostanie:
$$100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{4}{4}}=100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{1}=50$$

W orgazmie pacjenta jest jeszcze np. lek z dziewiątej dawki, który był podany \(8\) dni wcześniej. Tego leku w organizmie pacjenta będzie:
$$100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{8}{4}}=100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=100\cdot\frac{1}{4}=25$$

Z ósmej dawki zostanie:
$$100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{12}{4}}=100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=100\cdot\frac{1}{8}=12,5$$

I tak analogicznie możemy rozpisywać kolejne dawki, aż dojdziemy do pierwszej, która była \(40\) dni wcześniej, zatem z tej dawki zostało:
$$100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{40}{4}}=100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{10}$$

Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich dawek leku.
Naszym celem jest teraz zsumowanie tych wszystkich dawek. Widzimy wyraźnie, że kolejne dawki leku tworzą ciąg geometryczny, w którym \(a_{1}=50\) oraz \(q=\frac{1}{2}\). Korzystając zatem ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, możemy zapisać, że:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \\
S_{10}=50\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{1-\frac{1}{2}} \\
S_{10}=50\cdot\frac{1-\frac{1}{1024}}{\frac{1}{2}} \\
S_{10}=50\cdot\frac{\frac{1023}{1024}}{\frac{1}{2}} \\
S_{10}=50\cdot\frac{1023}{1024}:\frac{1}{2} \\
S_{10}=\frac{51150}{1024}:\frac{1}{2} \\
S_{10}=\frac{51150}{1024}\cdot2 \\
S_{10}=\frac{51150}{512} \\
S_{10}\approx99,9$$

To oznacza, że przed przyjęciem jedenastej dawki nasz pacjent ma w organizmie około \(99,9mg\) leku.

Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Kąty przy wierzchołku \(O\) (czyli \(|\sphericalangle AOB|\) oraz \(|\sphericalangle DOC|\)f) są tak zwanymi kątami wierzchołkowymi, a z własności takich kątów wynika, że mają one jednakową miarę. Z treści zadania wiemy też, że kąty \(OAB\) oraz \(OCD\) także mają jednakową miarę. To oznacza, że w tym momencie trójkąty \(ABO\) i \(ODC\) mają już dwie pary jednakowych kątów, zatem i kąty rozwarte w tych trójkątach muszą mieć jednakową miarę. To prowadzi nas do wniosku, że te dwa trójkąty są podobne (cecha kąt-kąt-kąt).

Krok 2. Obliczenie skali podobieństwa.
Przyjmijmy, że trójkąt \(ABO\) jest trójkątem podstawowym, a trójkąt \(ODC\) jest trójkątem podobnym. Aby obliczyć skalę podobieństwa, musimy najpierw odnaleźć parę boków odpowiadających. W trójkącie \(ABO\) naprzeciwko kąta rozwartego jest bok o długości \(5\), a w trójkącie \(ODC\) mamy bok o długości \(10\). To oznacza, że skala podobieństwa będzie równa:
$$k=\frac{10}{5} \\
k=2$$

Krok 3. Obliczenie długości boku \(OD\).
Bokiem odpowiadającym do boku \(OD\) będzie bok \(BO\) o długości \(3\). Skoro skala podobieństwa jest równa \(k=2\), to bok \(OD\) będzie dwa razy większy od boku \(BO\), czyli:
$$|OD|=2\cdot3 \\
|OD|=6$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.) oraz zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Zdarzeń elementarnych będzie tyle, ile jest liczb naturalnych od \(1000\) do \(9999\). Takich liczb jest łącznie \(9000\).

Uwaga - bardzo częstym błędem jest zapisywanie, że takich liczb jest \(9999-1000=8999\). Przykładowo, liczb od \(1000\) do \(1002\) mamy dokładnie \(3\), a nie \(1002-1000=2\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Musimy ustalić, ile jest losów wygrywających. Wbrew pozorom nie będzie ich wcale tak dużo. Na pewno odpadają wszystkie losy, mające przynajmniej jedną cyfrę od \(4\) do \(9\) (bo wtedy na pewno nie zbudujemy liczby, której suma cyfr jest równa \(3\)). Dodatkowo warto zauważyć, że jest tylko jedna liczba mająca cyfrę \(3\), która będzie liczbą sprzyjającą - tą liczbą będzie \(3000\). Bazując na tych obserwacjach, spróbujmy wypisać wszystkie interesujące nas liczby:
$$1011, 1101, 1110, 1002, 1020, \\
1200, 2001, 2010, 2100, 3000$$

Takich liczb mamy \(10\), a to oznacza, że \(|A|=10\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{10}{9000}=\frac{1}{900}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie typu \(2a+2b=200\) (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór na pole \(P=ab\cdot sin30°\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz pole równoległoboku z użyciem tylko jednej niewiadomej (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli (patrz: Krok 3.) i zapiszesz dziedzinę funkcji (patrz: Krok 1.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie zależności między bokami równoległoboku.
Równoległobok ma dwie pary boków jednakowej długości. Skoro więc obwód ten jest równy \(200\), to możemy zapisać, że:
$$2a+2b=200 \\
a+b=100 \\
b=100-a$$

Dodatkowo powinniśmy dostrzec, że długość boku \(b\) musi być dodatnia, stąd też:
$$100-a\gt0 \\
-a\gt-100 \\
a\lt100$$

Krok 2. Zapisanie zależności między polem powierzchni i długością boku \(a\).
W zadaniu wykorzystamy wzór na pole równoległoboku z wykorzystaniem funkcji sinus, czyli \(P=a\cdot b\cdot sin\alpha\), gdzie \(\alpha\) to kąt między bokami równoległoboku. Podstawiając teraz znane nam informacje, otrzymamy:
$$P=a\cdot b\cdot sin30° \\
P=a\cdot(100-a)\cdot\frac{1}{2} \\
P=(100a-a^2)\cdot\frac{1}{2} \\
P=-\frac{1}{2}a^2+50a$$

Krok 3. Obliczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli.
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-50}{2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)} \\
p=\frac{-50}{-1} \\
p=50$$

Otrzymany wynik oznacza, że funkcja osiąga więc największą wartość dla argumentu równego \(50\), co w naszym przypadku oznacza, że \(a=50\).

Krok 4. Obliczenie długości \(b\).
Skoro \(a=50\), to zgodnie z zapisami z pierwszego kroku, długość drugiego boku tej figury będzie równa:
$$b=100-a \\
b=100-50 \\
b=50$$

To w praktyce oznacza, że poszukiwanym równoległobokiem będzie tak naprawdę romb o boku \(50\).

Krok 5. Obliczenie pola równoległoboku.
Musimy jeszcze obliczyć pole tego równoległoboku, zatem:
$$P=a\cdot b\cdot sin30° \\
P=50\cdot50\cdot\frac{1}{2} \\
P=2500\cdot\frac{1}{2} \\
P=1250$$