Trójkąty o kątach 90°, 45°, 45° oraz 90°, 30°, 60°

W geometrii bardzo często wykorzystujemy własności dwóch kluczowych trójkątów prostokątnych, których miary kątów to \(45°, 45°, 90°\) lub \(30°, 60°, 90°\). Przyjrzyjmy się własnościom tych trójkątów i sprawdźmy co dzięki nim jesteśmy w stanie obliczyć.

Własności trójkątów \(45°, 45°, 90°\)

Okazuje się, że istnieje charakterystyczna relacja pomiędzy długościami boków w takim trójkącie. Jeżeli długości przyprostokątnych oznaczymy jako \(a\) to przeciwprostokątna będzie miała zawsze długość \(a\sqrt{2}\). Przy okazji warto zauważyć, że taki trójkąt jest nie tylko prostokątny, ale jest też równoramienny.

Co nam daje taka informacja? Dzięki niej jesteśmy w stanie określić długości wszystkich boków takiego trójkąta, znając tak naprawdę tylko jedną miarę. Załóżmy, że znamy długość \(AB\) powyższego trójkąta, która jest równa \(a=3cm\) i chcemy obliczyć miary pozostałych boków tego trójkąta. Znając własności takich trójkątów możemy stwierdzić, że skoro odcinek \(AB\) ma miarę \(3cm\), to także bok \(BC\) ma długość \(a=3cm\). Przeciwprostokątna \(AC\) będzie za to miała długość \(a\sqrt{2}\), czyli \(3\sqrt{2}cm\). Przećwiczmy te własności na następujących przykładach:

Przykład 1. Oblicz obwód trójkąta o kątach \(45°, 45°, 90°\), wiedząc że jedna z przyprostokątnych ma miarę \(4cm\).

Trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\) jest trójkątem równoramiennym, więc tak naprawdę obydwie przyprostokątne mają tą samą miarę \(a=4cm\).
Musimy teraz policzyć tylko długość przeciwprostokątnej, a będzie ona równa \(a\sqrt{2}\). Skoro \(a=4cm\), to nasza przeciwprostokątna ma długość \(4\sqrt{2}\).

Znamy już więc wszystkie wymiary trójkąta, zatem na sam koniec musimy obliczyć jeszcze jego obwód:
$$4cm+4cm+4\sqrt{2}cm=8cm+4\sqrt{2}cm$$

Przykład 2. Oblicz pole trójkąta o kątach \(45°, 45°, 90°\), wiedząc że przeciwprostokątna ma długość \(6\sqrt{2}cm\).

Zastanówmy się czego potrzebujemy do obliczenia pola powierzchni. Skoro jest to trójkąt prostokątny, to dolna przyprostokątna jest podstawą trójkąta, a boczna przyprostokątna jest jego wysokością. Potrzebujemy zatem poznać długości tych dwóch przyprostokątnych. Poznamy je wykorzystując ponownie własności trójkąta \(45°, 45°, 90°\). Skoro długość przeciwprostokątnej opisujemy wyrażeniem \(a\sqrt{2}\) i ta długość jest równa \(6\sqrt{2}\), to otrzymamy:
$$a\sqrt{2}=6\sqrt{2} \quad\bigg/: \sqrt{2} \\
a=6$$

W ten sposób udało nam się obliczyć długość jednej i drugiej przyprostokątnej, zatem pole tego trójkąta będzie równe:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
P=\frac{1}{2}\cdot6\cdot6 \\
P=3\cdot6 \\
P=18[cm^2]$$

Własności trójkątów \(30°, 60°, 90°\)

Drugim charakterystycznym trójkątem jest właśnie trójkąt mający kąty o mierze \(30°, 60°, 90°\). Tutaj także znając długość jednego z boków jesteśmy w stanie obliczyć każdą potrzebną miarę, a co za tym idzie – będziemy w stanie wyliczać obwód czy też pole takiego trójkąta. Okazuje się bowiem, że jeżeli długość krótszej przyprostokątnej oznaczymy jako \(a\), to druga przyprostokątna będzie mieć miarę \(a\sqrt{3}\), natomiast przeciwprostokątna będzie mieć miarę \(2a\). Jeżeli więc przykładowo bok \(AB\) ma długość \(a=3cm\), to bok \(BC\) ma długość \(a\sqrt{3}\) czyli \(3\sqrt{3}\), natomiast przeciwprostokątna \(AC\) ma długość \(2a\), czyli \(2\cdot3cm=6cm\).

Musimy jednak uważać na to jak dokładnie wyglądają te relacje między poszczególnymi długościami boków, bo bardzo łatwo jest tutaj o pomyłkę – zwłaszcza jeżeli chodzi o przyprostokątne. Spójrzmy na poniższy rysunek:

Te dwa trójkąty pokazują, że nie możemy uczyć się zależności w trójkącie \(30°, 60°, 90°\) w taki sposób, że dolna przyprostokątna to jest \(a\), natomiast boczna przyprostokątna to \(a\sqrt{3}\) (a robi tak bardzo wiele osób). Na tym rysunku wyraźnie widać, że taka zasada zapamiętania kompletnie się nie sprawdza kiedy nasz trójkąt zostanie obrócony, a może się tak przecież zdarzyć. Nieco lepszym pomysłem jest pamiętanie, że krótsza przyprostokątna ma długość \(a\), natomiast dłuższa \(a\sqrt{3}\), jednak i ta metoda może czasem nas zawieść, zwłaszcza jak robimy rysunek szkicowy z którego trudno dostrzec która przyprostokątna jest faktycznie krótsza, a która jest dłuższa. Dlatego najlepiej jest zapamiętać, że długość \(a\sqrt{3}\) to długość przyprostokątnej przy kącie \(30°\). Tylko ta metoda jest uniwersalna i na pewno nas nie zawiedzie. Mówi się nawet o tej metodzie „trójka przy trójce”, czyli trójka z pierwiastka ma być przy trójce od \(30°\).

Przykład 3. Oblicz obwód trójkąta o kątach \(30°, 60°, 90°\), wiedząc że krótsza przyprostokątna ma długość \(4cm\).

Cała trudność zadania polega na tym, by dobrze określić w którym miejscu jest ta długość \(4cm\). Krótsza przyprostokątna to przyprostokątna leżąca przy kącie \(60°\), stąd też \(a=4cm\). Dłuższa przyprostokątna ma miarę \(a\sqrt{3}\), czyli \(4\sqrt{3}cm\). Przeciwprostokątna ma długość \(2a\), czyli \(2\cdot4cm=8cm\). Obwód tej figury będzie zatem równy:
$$4cm+4\sqrt{3}cm+8cm=12cm+4\sqrt{3}cm$$