Trójkąty o kątach 90°, 45°, 45° oraz 90°, 30°, 60°

W geometrii bardzo często wykorzystujemy własności dwóch kluczowych trójkątów prostokątnych, których miary kątów to \(45°, 45°, 90°\) lub \(30°, 60°, 90°\). Przyjrzyjmy się własnościom tych trójkątów i sprawdźmy co dzięki nim jesteśmy w stanie obliczyć.

Własności trójkątów \(45°, 45°, 90°\)
trójkąty o kątach 45, 45, 90

Okazuje się, że istnieje charakterystyczna relacja pomiędzy długościami boków w takim trójkącie. Jeżeli długości przyprostokątnych oznaczymy jako \(a\) to przeciwprostokątna będzie miała zawsze długość \(a\sqrt{2}\). Przy okazji warto zauważyć, że taki trójkąt jest nie tylko prostokątny, ale jest też równoramienny.

Co nam daje taka informacja? Dzięki niej jesteśmy w stanie określić długości wszystkich boków takiego trójkąta, znając tak naprawdę tylko jedną miarę. Załóżmy, że znamy długość \(AB\) powyższego trójkąta, która jest równa \(a=3cm\) i chcemy obliczyć miary pozostałych boków tego trójkąta. Znając własności takich trójkątów możemy stwierdzić, że skoro odcinek \(AB\) ma miarę \(3cm\), to także bok \(BC\) ma długość \(a=3cm\). Przeciwprostokątna \(AC\) będzie za to miała długość \(a\sqrt{2}\), czyli \(3\sqrt{2}cm\). Przećwiczmy te własności na następujących przykładach:

Przykład 1. Oblicz obwód trójkąta o kątach \(45°, 45°, 90°\), wiedząc że jedna z przyprostokątnych ma miarę \(4cm\).
trójkąty o kątach 45, 45, 90

Trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\) jest trójkątem równoramiennym, więc tak naprawdę obydwie przyprostokątne mają tą samą miarę \(a=4cm\).
Musimy teraz policzyć tylko długość przeciwprostokątnej, a będzie ona równa \(a\sqrt{2}\). Skoro \(a=4cm\), to nasza przeciwprostokątna ma długość \(4\sqrt{2}\).

Znamy już więc wszystkie wymiary trójkąta, zatem na sam koniec musimy obliczyć jeszcze jego obwód:
$$4cm+4cm+4\sqrt{2}cm=8cm+4\sqrt{2}cm$$

Przykład 2. Oblicz pole trójkąta o kątach \(45°, 45°, 90°\), wiedząc że przeciwprostokątna ma długość \(6\sqrt{2}cm\).
trójkąty o kątach 45, 45, 90

Zastanówmy się czego potrzebujemy do obliczenia pola powierzchni. Skoro jest to trójkąt prostokątny, to dolna przyprostokątna jest podstawą trójkąta, a boczna przyprostokątna jest jego wysokością. Potrzebujemy zatem poznać długości tych dwóch przyprostokątnych. Poznamy je wykorzystując ponownie własności trójkąta \(45°, 45°, 90°\). Skoro długość przeciwprostokątnej opisujemy wyrażeniem \(a\sqrt{2}\) i ta długość jest równa \(6\sqrt{2}\), to otrzymamy:
$$a\sqrt{2}=6\sqrt{2} \quad\bigg/: \sqrt{2} \\
a=6$$

W ten sposób udało nam się obliczyć długość jednej i drugiej przyprostokątnej, zatem pole tego trójkąta będzie równe:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
P=\frac{1}{2}\cdot6\cdot6 \\
P=3\cdot6 \\
P=18[cm^2]$$

Własności trójkątów \(30°, 60°, 90°\)
trójkąty o kątach 30, 60, 90

Drugim charakterystycznym trójkątem jest właśnie trójkąt mający kąty o mierze \(30°, 60°, 90°\). Tutaj także znając długość jednego z boków jesteśmy w stanie obliczyć każdą potrzebną miarę, a co za tym idzie – będziemy w stanie wyliczać obwód czy też pole takiego trójkąta. Okazuje się bowiem, że jeżeli długość krótszej przyprostokątnej oznaczymy jako \(a\), to druga przyprostokątna będzie mieć miarę \(a\sqrt{3}\), natomiast przeciwprostokątna będzie mieć miarę \(2a\). Jeżeli więc przykładowo bok \(AB\) ma długość \(a=3cm\), to bok \(BC\) ma długość \(a\sqrt{3}\) czyli \(3\sqrt{3}\), natomiast przeciwprostokątna \(AC\) ma długość \(2a\), czyli \(2\cdot3cm=6cm\).

Musimy jednak uważać na to jak dokładnie wyglądają te relacje między poszczególnymi długościami boków, bo bardzo łatwo jest tutaj o pomyłkę – zwłaszcza jeżeli chodzi o przyprostokątne. Spójrzmy na poniższy rysunek:
trójkąty o kątach 30, 60, 90

Te dwa trójkąty pokazują, że nie możemy uczyć się zależności w trójkącie \(30°, 60°, 90°\) w taki sposób, że dolna przyprostokątna to jest \(a\), natomiast boczna przyprostokątna to \(a\sqrt{3}\) (a robi tak bardzo wiele osób). Na tym rysunku wyraźnie widać, że taka zasada zapamiętania kompletnie się nie sprawdza kiedy nasz trójkąt zostanie obrócony, a może się tak przecież zdarzyć. Nieco lepszym pomysłem jest pamiętanie, że krótsza przyprostokątna ma długość \(a\), natomiast dłuższa \(a\sqrt{3}\), jednak i ta metoda może czasem nas zawieść, zwłaszcza jak robimy rysunek szkicowy z którego trudno dostrzec która przyprostokątna jest faktycznie krótsza, a która jest dłuższa. Dlatego najlepiej jest zapamiętać, że długość \(a\sqrt{3}\) to długość przyprostokątnej przy kącie \(30°\). Tylko ta metoda jest uniwersalna i na pewno nas nie zawiedzie. Mówi się nawet o tej metodzie „trójka przy trójce”, czyli trójka z pierwiastka ma być przy trójce od \(30°\).

Przykład 3. Oblicz obwód trójkąta o kątach \(30°, 60°, 90°\), wiedząc że krótsza przyprostokątna ma długość \(4cm\).
trójkąty o kątach 30, 60, 90

Cała trudność zadania polega na tym, by dobrze określić w którym miejscu jest ta długość \(4cm\). Krótsza przyprostokątna to przyprostokątna leżąca przy kącie \(60°\), stąd też \(a=4cm\). Dłuższa przyprostokątna ma miarę \(a\sqrt{3}\), czyli \(4\sqrt{3}cm\). Przeciwprostokątna ma długość \(2a\), czyli \(2\cdot4cm=8cm\). Obwód tej figury będzie zatem równy:
$$4cm+4\sqrt{3}cm+8cm=12cm+4\sqrt{3}cm$$

Przykład 4. Najdłuższy bok trójkąta o kątach \(30°, 60°, 90°\) ma miarę \(8cm\). Wyznacz miarę najkrótszego boku.

Najdłuższym bokiem jest oczywiście przyprostokątna (zawsze tak jest, niezależnie od tego jaki to jest trójkąt prostokątny).
trójkąty o kątach 30, 60, 90

Ta obserwacja pozwala nam stwierdzić, że bok określany długością \(2a\) ma miarę \(8cm\). Najkrótszy bok określamy jako \(a\), czyli jego miara jest równa połowie długości przeciwprostokątnej, zatem \(a=8cm:2=4cm\).

Dodaj komentarz