W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię 240m2

W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię $240m^2$. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię $350m^2$ oraz jest o $5m$ dłuższy i $2m$ szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.

Rozwiązanie:

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.

$s$ – szerokość pierwszego basenu
$d$ – długość pierwszego basenu

$s+2$ – szerokość drugiego basenu
$d+5$ – długość drugiego basenu

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.

Na podstawie tych danych możemy stworzyć prosty układ równań.
\begin{cases}
sd=240 \\
(s+2)(d+5)=350
\end{cases}

Wymnażamy wartości w nawiasach z drugiego równania:
\begin{cases}
sd=240 \\
sd+5s+2d+10=350
\end{cases}

Podstawiamy $sd=240$ z pierwszego równania do drugiego:
$$240+5s+2d+10=350 \\
5s+2d=100$$

Skoro $sd=240$, to $s=\frac{240}{d}$. Podstawiamy to do naszego powyższego równania, otrzymując:
$$5\cdot\frac{240}{d}+2d=100 \\
\frac{1200}{d}+2d=100$$

Teraz musimy wymnożyć równanie przez $d$ i doprowadzić je do postaci ogólnej równania kwadratowego (czyli takiej, gdzie po prawej stronie będzie wartość $0$). Dzięki temu będziemy mogli skorzystać z metody delty.
$$\frac{1200}{d}+2d=100 \quad\bigg/\cdot d \\
1200+2d^2=100d \\
2d^2-100d+1200=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Współczynniki: $a=2,\;b=-100,\;c=1200$
$$Δ=b^2-4ac=(-100)^2-4\cdot2\cdot1200=10000-9600=400 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{400}=20$$

$$d_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-100)-20}{2\cdot2}=\frac{80}{4}=20 \\
d_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-100)+20}{2\cdot2}=\frac{120}{4}=30$$

Krok 4. Interpretacja wyniku i wyznaczenie ostatecznych długości basenów.

Otrzymaliśmy dwie różne możliwości długości krótszego basenu. Obydwie są poprawne, nie możemy ich odrzucić. W związku z tym będziemy mieć także dwa warianty szerokości tego basenu:
• Jeśli $d=20$, to szerokość pierwszego basenu musi być równa $s=12$, bo $P=12\cdot20=240$. W związku z tym wymiary pierwszego basenu to $s\times d=12\times20$.
Zgodnie z naszymi oznaczeniami wymiary drugiego basenu to $(s+2)\times(d+5)$, czyli w tym przypadku będzie to $14\times25$.
• Jeśli $d=30$, to szerokość pierwszego basenu musi być równa $s=8$, bo $P=8\cdot30=240$. W związku z tym wymiary pierwszego basenu to $s\times d=8\times30$.
Zgodnie z naszymi oznaczeniami wymiary drugiego basenu to $(s+2)\times(d+5)$, czyli w tym przypadku będzie to $10\times35$.

Odpowiedź:

Istnieją dwie możliwości:
I. Wymiary pierwszego basenu to $12\times20$, a wymiary drugiego basenu to $14\times25$.
II. Wymiary pierwszego basenu to $8\times30$, a wymiary drugiego basenu to $10\times35$.