Dla pewnej liczby rzeczywistej x liczby: 1-x, 2-3x, 10+2x są trzema początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu

Dla pewnej liczby rzeczywistej \(x\) liczby: \(1-x\), \(2-3x\), \(10+2x\) są trzema początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\). Wyznacz \(x\) oraz oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Z własności ciągów arytmetycznych wynika, że dla trzech kolejno następujących po sobie wyrazów zachodzi następująca relacja:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Podstawiając do tego wzoru wartości podane w treści zadania otrzymamy:
$$2-3x=\frac{(1-x)+(10+2x)}{2} \\
2-3x=\frac{11+x}{2} \\
4-6x=11+x \\
-7x=7 \\
x=-1$$

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego, drugiego i trzeciego wyrazu.
Skoro \(x=-1\), to podstawiając tę wartość do wyrażeń podanych w treści zadania otrzymamy:
$$a_{1}=1-(-1)=1+1=2 \\
a_{2}=2-3\cdot(-1)=2-(-3)=5 \\
a_{3}=10+2\cdot(-1)=10-2=8$$

Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znając wartość pierwszego i drugiego wyrazu ciągu bez problemu obliczymy różnicę ciągu:
$$r=a_{2}-a_{1} \\
r=5-2 \\
r=3$$

Krok 4. Obliczenie sumy dziesięciu pierwszych wyrazów.
Znamy wartość \(a_{1}=2\), wiemy też że \(r=3\), zatem możemy obliczyć sumę dziesięciu pierwszych wyrazów:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \\
S_{10}=\frac{2\cdot2+(10-1)\cdot3}{2}\cdot10 \\
S_{10}=\frac{4+9\cdot3}{2}\cdot10 \\
S_{10}=\frac{4+27}{2}\cdot10 \\
S_{10}=\frac{31}{2}\cdot10 \\
S_{10}=15,5\cdot10 \\
S_{10}=155$$

Odpowiedź

\(S_{10}=155\)

Dodaj komentarz