Matura próbna – Matematyka – Nowa Era 2018

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej (lub iloczynowej).
Aby przystąpić do rozwiązywania nierówności musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, tak aby po prawej stronie było tylko \(0\). W związku z tym:
$$x(x-4)\le(2x+1)(x-4) \\
x(x-4)-(2x+1)(x-4)\le0$$

Tutaj się na chwilę zatrzymamy. Mamy tak naprawdę teraz dwie możliwości. Pierwszą z nich jest osiągnięcie postaci ogólnej, a więc mnożąc przez siebie te wszystkie nawiasy otrzymamy:
$$x(x-4)-(2x+1)(x-4)\le0 \\
x^2-4x-(2x^2-8x+x-4)\le0 \\
x^2-4x-2x^2+8x-x+4\le0 \\
-x^2+3x+4\le0$$

Jednak tutaj da się postąpić nieco sprytniej i możemy tę nierówność zapisać w postaci iloczynowej, dzięki czemu później szybciej wyznaczymy miejsca zerowe (uwaga na znaki!):
$$x(x-4)-(2x+1)(x-4)\le0 \\
(x-2x-1)(x-4)\le0 \\
(-x-1)(x-4)\le0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Jeżeli mamy postać ogólną to miejsca zerowe obliczymy z użyciem klasycznej delty:
Współczynniki: \(a=-1,\;b=3,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot(-1)\cdot4=9-(-16)=9+16=25 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-5}{2\cdot(-1)}=\frac{-8}{-2}=4 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+5}{2\cdot(-1)}=\frac{2}{-2}=-1$$

Jeżeli mieliśmy postać iloczynową, to wartość każdego z nawiasów musimy teraz przyrównać do zera:
$$-x-1=0 \quad\lor\quad x-4=0 \\
x=-1 \quad\lor\quad x=4$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest ujemny, bo \(a=-1\), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy więc obliczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki zamalowane, bo w nierówności mamy znak \(\le\)) i nasza parabola będzie wyglądać w ten sposób:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas miejsca w których funkcja przyjmuje wartości mniejsze od zera. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział \(x\in(-\infty;-1\rangle\cup\langle4;+\infty)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że \(n=2\frac{1}{2}\), ale nie wyciągniesz z tego żadnych wniosków.
ALBO
• Gdy uzasadnisz, że ten ciąg jest malejący, ale nie obliczysz wartości drugiego i trzeciego wyrazu, które mogłyby potwierdzić, że nie istnieje wyraz ciągu równy \(2\frac{1}{2}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Aby sprawdzić, czy w danym ciągu istnieje wyraz równy \(2\frac{1}{2}\) wystarczy rozwiązać następujące równanie:
$$\frac{4n+5}{2n+1}=2\frac{1}{2} \quad\bigg/\cdot(2n+1) \\
4n+5=2\frac{1}{2}\cdot(2n+1) \\
4n+5=5n+2\frac{1}{2} \\
-n=-2\frac{1}{2} \\
n=2\frac{1}{2}$$

Otrzymany wynik nie jest liczbą naturalną, a to sprawia, że liczba \(2\frac{1}{2}\) nie może być jednym z wyrazów tego ciągu.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz nierówność do postaci \((2x^2-3)^2\ge0\) (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Przeniesienie wyrazów na lewą stronę.
Naszym zadaniem będzie przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę oraz umiejętne skorzystanie z wzorów skróconego mnożenia. Całość będzie wyglądać następująco:
$$(x^2-3)^2+x^4\ge4\frac{1}{2} \\
(x^2-3)^2+x^4-4\frac{1}{2}\ge0 \\
x^4-6x^2+9+x^4-4\frac{1}{2}\ge0 \\
2x^4-6x^2+4\frac{1}{2}\ge0 \quad\bigg/\cdot2 \\
4x^4-12x^2+9\ge0 \\
(2x^2-3)^2\ge0$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z racji tego iż każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny, to wartość \((2x^2-3)^2\) jest na pewno większa od zera lub równa zero, zatem faktycznie ta nierówność będzie spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartość pierwszego wyrazu (patrz: Krok 2.) oraz różnicę ciągu (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Z własności ciągów arytmetycznych wynika, że dla trzech kolejno następujących po sobie wyrazów zachodzi następująca relacja:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Podstawiając do tego wzoru wartości podane w treści zadania otrzymamy:
$$2-3x=\frac{(1-x)+(10+2x)}{2} \\
2-3x=\frac{11+x}{2} \\
4-6x=11+x \\
-7x=7 \\
x=-1$$

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego, drugiego i trzeciego wyrazu.
Skoro \(x=-1\), to podstawiając tę wartość do wyrażeń podanych w treści zadania otrzymamy:
$$a_{1}=1-(-1)=1+1=2 \\
a_{2}=2-3\cdot(-1)=2-(-3)=5 \\
a_{3}=10+2\cdot(-1)=10-2=8$$

Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znając wartość pierwszego i drugiego wyrazu ciągu bez problemu obliczymy różnicę ciągu:
$$r=a_{2}-a_{1} \\
r=5-2 \\
r=3$$

Krok 4. Obliczenie sumy dziesięciu pierwszych wyrazów.
Znamy wartość \(a_{1}=2\), wiemy też że \(r=3\), zatem możemy obliczyć sumę dziesięciu pierwszych wyrazów:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \\
S_{10}=\frac{2\cdot2+(10-1)\cdot3}{2}\cdot10 \\
S_{10}=\frac{4+9\cdot3}{2}\cdot10 \\
S_{10}=\frac{4+27}{2}\cdot10 \\
S_{10}=\frac{31}{2}\cdot10 \\
S_{10}=15,5\cdot10 \\
S_{10}=155$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne wierzchołka paraboli (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Na początek wyznaczmy współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Jedną z własności paraboli jest to, że jej oś symetrii przechodzi zawsze przez wierzchołek. To oznacza, że skoro osią symetrii jest prosta o równaniu \(x=-2\), to pierwszą współrzędną wierzchołka będzie \(p=-2\).


Wiemy też, że wierzchołek leży na prostej o równaniu \(y=-x+2\). Skoro tak, to obliczmy wartość dla \(x=-2\), czyli wartość przyjmowaną w wierzchołku:
$$y=-(-2)+2 \\
y=2+2 \\
y=4$$

To oznacza, że współrzędne wierzchołka to \(W=(-2;4)\).

Krok 2. Wyznaczenie wzoru w postaci kanonicznej.
Skoro znamy współrzędne wierzchołka paraboli to możemy skorzystać z postaci kanonicznej \(y=a(x-p)^2+q\). Podstawiając zatem \(p=-2\) oraz \(q=4\) otrzymamy:
$$y=a(x-(-2))^2+4 \\
y=a(x+2)^2+4$$

Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze tylko poznania współczynnika \(a\). Aby poznać pełny wzór tej funkcji musimy podstawić do powyższej postaci współrzędne jakiegoś punktu (innego niż wierzchołek) przez który ta parabola przechodzi.

Tu z pomocą przyjdzie nam ciekawa informacja, która jest zaszyta w postaci ogólnej, która pojawiła się w treści zadania. Wiemy, że funkcja ta w postaci ogólnej przybiera postać \(f(x)=ax^2+bx+3\). Niezależnie od tego jakie są wartości współczynników \(a\) oraz \(b\), to podstawiając \(x=0\) otrzymamy informację, że:
$$f(0)=a\cdot0^2+b\cdot0+3 \\
f(0)=0+0+3 \\
f(0)=3$$

To oznacza, że parabola na pewno przechodzi przez punkt \(A\), o współrzędnych \(A=(0;3)\). Podstawiając teraz te współrzędne do postaci \(y=a(x+2)^2+4\) wyznaczymy brakujący współczynnik \(a\):
$$3=a\cdot(0+2)^2+4 \\
3=a\cdot2^2+4 \\
3=a\cdot4+4 \\
4a=-1 \\
a=-\frac{1}{4}$$

Możemy więc już zapisać, że wzór funkcji w postaci kanonicznej to \(y=-\frac{1}{4}(x+2)^2+4\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.) oraz gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Rzucamy trzykrotnie dwunastościenną kostką. W każdym rzucie możemy otrzymać jeden z dwunastu wyników, zatem wszystkich zdarzeń elementarnych zgodnie z regułą mnożenia będziemy mieć:
$$|Ω|=12\cdot12\cdot12=1728$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której wylosowane liczby utworzą ciąg geometryczny, czyli przykładowo takimi zdarzeniami mogą być \(2,4,8\) lub też \(1,3,9\). Musimy wypisać wszystkie możliwe warianty. Warto tutaj zwrócić uwagę, że iloraz \(q\) w takich ciągach musi być liczbą naturalną. Jakbyśmy mieli \(q\) w postaci liczby niecałkowitej (np. w postaci ułamka typu \(\frac{1}{2}\)) to w ciągu będą pojawiać nam się liczby niecałkowite, a takich na kości nie mamy. Najprościej będzie wypisać wszystkie warianty w następujący sposób:
Gdy \(q=1\):
\((1,1,1), (2,2,2), (3,3,3),..., (12,12,12)\)
Mamy więc tutaj \(12\) takich zdarzeń.

Gdy \(q=2\):
\((1,2,4), (2,4,8), (3,6,12)\)
Mamy więc tutaj \(3\) takie zdarzenia.

Gdy \(q=3\):
\((1,3,9)\)
Mamy więc tutaj \(1\) takie zdarzenie.

Łącznie zdarzeń sprzyjających mamy zatem:
$$|A|=12+3+1=16$$

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{16}{1728}=\frac{1}{108}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(PC\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość podstawy ostrosłupa (patrz: Krok 3.) oraz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wiemy, że ostrosłup jest prawidłowy trójkątny, czyli w podstawie będzie miał trójkąt równoboczny. Zróbmy więc prosty rysunek szkicowy i nanieśmy na niego dane z treści zadania:


Krok 2. Wyznaczenie długości odcinka \(PC\).
Patrząc się na nasz szkicowy rysunek powinniśmy dostrzec, że trójkąt prostokątny \(PCS\) jest jednocześnie trójkątem równoramiennym. Wynika to wprost z własności trójkątów prostokątnych - kiedy jeden kąt ostry ma miarę \(45°\), to i drugi kąt ostry w tym trójkącie ma taką miarę. Z tego też względu długości przyprostokątnych w tym trójkącie są jednakowe, a skoro wysokość \(SP\) ma miarę \(2\sqrt{3}\), to i odcinek \(PC\) będzie miał miarę \(|PC|=2\sqrt{3}\).

Krok 3. Obliczenie długości wysokości trójkąta znajdującego się w podstawie.
Odcinek \(PC\) stanowi \(\frac{2}{3}\) długości wysokości trójkąta równobocznego, który znalazł się w podstawie. W związku z tym:
$$\frac{2}{3}h_{p}=2\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot3 \\
2h_{p}=6\sqrt{3} \\
h_{p}=3\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Znając wysokość trójkąta równobocznego możemy bez problemu obliczyć długość boku trójkąta. Dokonamy tego korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:
$$h_{p}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
3\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \quad\bigg/\cdot2 \\
6\sqrt{3}=a\sqrt{3} \\
a=6$$

Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Wiedząc, że bok trójkąta równobocznego ma długość \(a=6\) możemy przejść do obliczenia pola podstawy:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{36\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=9\sqrt{3}$$

Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znamy pole podstawy, znamy też wysokość ostrosłupa, zatem:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3} \\
V=3\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3} \\
V=6\cdot3 \\
V=18$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz podobieństwo trójkątów (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość przekątnej \(AC\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość boku \(BD\) (patrz: Krok 3.) oraz wysokość \(AD\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W trapezie podstawy są względem siebie równoległe. Korzystając zatem z własności kątów naprzemianległych możemy stwierdzić, że jeżeli kąt \(CAB\) oznaczymy jako \(α\), to także kąt \(ACD\) będzie miał miarę równą \(α\). Możemy więc powiedzieć, że w trójkątach \(ABC\) oraz \(ACD\) dwie znane nam miary kątów są jednakowe (kąt prosty oraz \(α\)), zatem i trzecia miara tego kąta musi być jednakowa (możemy ją oznaczyć jako \(β\)). To oznacza, że powstanie nam taka oto sytuacja:


Krok 2. Obliczenie długości przekątnej \(AC\).
Z treści zadania wynika, że sinus kąta \(CAD\) (czyli naszego kąta β) jest równy \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). Nie za bardzo wykorzystamy tę informację w trójkącie \(ACD\) (bo nie znamy choćby jednej długości boku tego trójkąta), ale możemy tę informację wykorzystać w trójkącie \(ABC\), wszak tutaj też jest kąt \(β\). Znamy długość przeciwprostokątnej tego trójkąta \(a=9\), zatem:
$$sinβ=\frac{|AC|}{|AB|} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{|AC|}{9} \\
|AC|=3\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości boku \(CD\).
Wracamy do naszego trójkąta \(ACD\). Znamy już długość przeciwprostokątnej tego trójkąta, bowiem \(|AC|=3\sqrt{3}\). Korzystając zatem z początkowej informacji o tym, że sinus kąta \(CAD\) jest równy \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) możemy zapisać, że:
$$sinβ=\frac{|CD|}{|AC|} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{|CD|}{3\sqrt{3}} \\
|CD|=\frac{\sqrt{3}\cdot3\sqrt{3}}{3} \\
|CD|=\frac{9}{3} \\
|CD|=3$$

To oznacza, że górna podstawa ma długość \(b=3\).

Krok 4. Obliczenie wysokości \(AD\) (czyli wysokości trapezu).
Ponownie spoglądamy na mały trójkąt prostokątny \(ACD\). Znamy dwie długości w tym trójkącie, zatem i trzecią (będącą wysokością trapezu) bez problemu możemy policzyć, korzystając oczywiście z Twierdzenia Pitagorasa:
$$3^2+h^2=(3\sqrt{3})^2 \\
9+h^2=9\cdot3 \\
9+h^2=27 \\
h^2=18 \\
h=\sqrt{18} \quad\lor\quad h=-\sqrt{18}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(h=\sqrt{18}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(h=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt{2}\).

Krok 5. Obliczenie pola trapezu.
Mamy już komplet informacji, znamy długości dwóch podstaw \(a=9\) oraz \(b=3\), znamy też wysokość trapezu \(h=3\sqrt{2}\), zatem:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot(9+3)\cdot3\sqrt{2} \\
P=\frac{1}{2}\cdot12\cdot3\sqrt{2} \\
P=6\cdot3\sqrt{2} \\
P=18\sqrt{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(AN\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne punktu \(N\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne punktu \(C\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(BC\) (patrz: Krok 5.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczając w układzie współrzędnych dane z treści zadania otrzymamy następującą sytuację:


Warto zwrócić uwagę na to, że kąt \(ANM\) będzie także miał miarę \(90°\), bo proste \(BC\) oraz \(MN\) są względem siebie równoległe, zatem miary kątów \(ACB\) oraz \(ANM\) są sobie równe.

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AN\) (oraz \(AC\)).
Prosta \(AN\) (lub \(AC\)) to prosta prostopadła do prostej \(y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro nasza pierwsza prosta ma współczynnik \(a=\frac{1}{2}\), to prosta \(AN\) będzie mieć ten współczynnik \(a=-2\), bo \(-2\cdot\frac{1}{2}=-1\). To oznacza, że prosta \(AN\) wyrażać się będzie równaniem \(y=-2x+b\). Do poznania pełnego wzoru musimy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\).

Współczynnik \(b\) wyznaczymy podstawiając do zapisanego przed chwilą równania wartości współrzędnych jakiegoś punktu, który przez tą prostą przechodzi. W naszym przypadku znamy współrzędne punktu \(A=(1,6)\), zatem podstawiając \(x=1\) oraz \(y=6\) do postaci \(y=-2x+b\) otrzymamy:
$$6=-2\cdot1+b \\
6=-2+b \\
b=8$$

To oznacza, że równanie prostej \(AN\) przyjmuje postać \(y=-2x+8\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(N\).
Punkt \(N\) jest miejscem przecięcia się prostych \(MN\) oraz \(AN\). Znamy równania jednej i drugiej prostej, zatem tworząc z nich układ równań będziemy mogli wyznaczyć współrzędne punktu \(N\):
$$\begin{cases}
y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} \\
y=-2x+8
\end{cases}$$

Korzystając z metody podstawiania otrzymamy:
$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}=-2x+8 \\
2\frac{1}{2}x=7\frac{1}{2} \\
x=3$$

Znamy już wartość współrzędnej iksowej, musimy jeszcze poznać wartość współrzędnej igrekowej, a dokonamy tego podstawiając \(x=3\) do wybranego równania (np. drugiego):
$$y=-2x+8 \\
y=-2\cdot3+8 \\
y=-6+8 \\
y=2$$

To oznacza, że \(N=(3;2)\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Punkt \(N\) jest środkiem odcinka \(AC\). Znamy współrzędne punktu \(A=(1,6)\), znamy też już współrzędne punktu \(N=(3;2)\), zatem możemy ze wzoru na środek odcinka wyznaczyć współrzędne punktu \(C\). Dla przejrzystości obliczeń najlepiej jest oddzielnie policzyć współrzędną iksową i oddzielnie współrzędną igrekową:
$$x_{N}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \\
3=\frac{1+x_{C}}{2} \\
6=1+x_{C} \\
x_{C}=5 \\
\quad \\
y_{N}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \\
2=\frac{6+y_{C}}{2} \\
4=6+y_{C} \\
y_{C}=-2$$

Wyszło nam zatem, że \(C=(5;-2)\).

Krok 5. Wyznaczenie równania prostej \(BC\).
Prosta \(BC\) jest równoległa do prostej \(MN\), zatem te dwie proste będą mieć jednakowy współczynnik \(a\). Skoro więc prosta \(MN\) ma współczynnik \(a=\frac{1}{2}\), to i prosta \(BC\) będzie mieć \(a=\frac{1}{2}\). To z kolei oznacza, że prosta \(BC\) będzie wyrażać się równaniem \(y=\frac{1}{2}x+b\). Musimy jeszcze poznać wartość współczynnika \(b\), a dokonamy tego podstawiając do tego równania współrzędne punktu \(C\).
$$-2=\frac{1}{2}\cdot5+b \\
-2=2\frac{1}{2}+b \\
b=-4\frac{1}{2}$$

To oznacza, że równaniem prostej \(BC\) będzie \(y=\frac{1}{2}x-4\frac{1}{2}\).

Krok 6. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
O punkcie \(B\) wiemy tyle, że leży on na osi igreków, czyli na pewno współrzędna iksowa tego punktu jest równa \(x=0\). Możemy więc do równania prostej \(BC\), czyli \(y=\frac{1}{2}x-4\frac{1}{2}\) podstawić \(x=0\) i otrzymamy współrzędną igrekową naszego punktu. Tak prawdę mówiąc, to współrzędną igrekową punktu \(B\) możemy wprost odczytać ze wzoru funkcji - wystarczy spojrzeć na współczynnik \(b\) tej prostej, bo to on pokazuje nam jaka jest współrzędna igrekowa naszego punktu \(B\). Skoro współczynnik \(b=-4\frac{1}{2}\), to współrzędna \(y=-4\frac{1}{2}\). To oznacza, że \(B=\left(0;-4\frac{1}{2}\right)\).