Rozwiązaniem układu równań x+y=1 oraz x-y=b z niewiadomymi x i y jest para liczb dodatnich

Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} x+y=1 \\ x-y=b \end{cases}\) z niewiadomymi \(x\) i \(y\) jest para liczb dodatnich. Wynika stąd, że:

Rozwiązanie

Spróbujmy wyznaczyć wartości \(x\) oraz \(y\) z tego układu równań. Jeżeli dodamy te równania stronami to otrzymamy:
$$2x+0y=1+b \\
2x=1+b \\
x=\frac{1+b}{2}$$

Kiedy odejmiemy te równania stronami to otrzymamy:
$$0x+2y=1-b \\
2y=1-b \\
y=\frac{1-b}{2}$$

Teraz zgodnie z treścią zadania wiemy, że \(x\) oraz \(y\) są dodatnie, zatem:
$$\frac{1+b}{2}\gt0 \land \frac{1-b}{2}\gt0 \\
1+b\gt0 \quad\land\quad 1-b\gt0 \\
b\gt-1 \quad\land\quad b\lt1$$

To oznacza, że \(-1\lt b\lt1\).

Odpowiedź

C

Dodaj komentarz