Kąt alfa jest ostry i sin alfa/cos alfa+cos alfa/sin alfa=2

Kąt \(α\) jest ostry i \(\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{sinα}=2\). Oblicz wartość wyrażenia \(sinα\cdot cosα\).

Rozwiązanie:
Krok 1. Obustronne pomnożenie ułamków przez wartości w mianownikach.

Chcąc się pozbyć ułamków możemy pomnożyć to równanie obustronnie przez wartości znajdujące w mianownikach. Możemy to zrobić jednocześnie w ramach jednego działania (mnożąc od razu przez \(sinα\cdot cosα\)), ale aby lepiej wyjaśnić to zadanie może zróbmy sobie to powoli krok po kroku:
$$\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{sinα}=2 \quad\bigg/\cdot cosα \\
sinα+\frac{cos^2α}{sinα}=2\cdot cosα \quad\bigg/\cdot sinα \\
sin^2α+cos^2α=2\cdot sinα\cdot cosα$$

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(sinα\cdot cosα\).

Z „jedynki trygonometrycznej” wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\). To oznacza, że po lewej stronie równania otrzymanego w pierwszym kroku będziemy mieć jedynkę, zatem:
$$1=2\cdot sinα\cdot cosα \\
sinα\cdot cosα=\frac{1}{2}$$

Odpowiedź:

\(sinα\cdot cosα=\frac{1}{2}\)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.