Temat proporcji związany jest z dzieleniem różnych miar i wartości w taki sposób, aby zachować równość między poszczególnymi podziałami. Sprawdźmy zatem na czym polegają te proporcje i gdzie możemy się z nimi spotkać.
Czym jest proporcja?
Wyobraźmy sobie prostą sytuację z życia codziennego. Mamy standardową tabliczkę czekolady, która waży \(100g\) i dzielimy ją równo pomiędzy \(4\) osoby. Każda z tych osób dostałaby więc \(25g\) czekolady. Jeżeli mielibyśmy dużą tabliczkę czekolady o wadze \(300g\) i podzielilibyśmy ją przez \(12\) osób, to wtedy też każda z tych osób dostałaby \(25g\) czekolady. Można powiedzieć, że mimo iż mieliśmy różne gramatury czekolady i różną liczbę osób, to każdy z obdarowanych otrzymał proporcjonalnie tyle samo czekolady. Ten równy (proporcjonalny) podział to jest właśnie sytuacja, która interesuje nas w tym temacie.
Historię z czekoladą można oczywiście przedstawić jeszcze inaczej. Jeżeli mamy \(100g\) czekolady i dzielimy ją na \(4\) osoby, to moglibyśmy zostać zapytani – ile czekolady potrzebujemy, aby obdarować w ten sam sposób \(12\) osób? Można też odwrócić pytanie – na ile osób trzeba byłoby podzielić \(300g\) tabliczki czekolady? To są właśnie klasyczne dylematy z którymi będziemy zmagać się w temacie proporcji.
Zapisywanie proporcji i równań
Bazując na powyższej historii z czekoladą moglibyśmy stwierdzić, że \(100g\) dzielone na \(4\) osoby jest równe tyle samo co \(300g\) dzielone na \(12\) osób, co matematycznie zapisalibyśmy jako:
$$\frac{100}{4}=\frac{300}{12}$$
Powyższa równość jest bardzo charakterystyczna dla działu proporcji. Widzimy tutaj cztery liczby (mogą to być też cztery wyrażenia), które zapisane są w postaci dwóch ułamków, między którymi postawiony jest znak równości. Oczywiście podana tutaj równość jest wyjątkowo prosta i składa się z samych liczb, ale bardzo często w takich równaniach pojawiać się będzie niewiadoma \(x\) i całość zadania będzie opierać się na wyznaczeniu poszukiwanej wartości. Przykładowo, gdybyśmy się zastanawiali ile czekolady trzeba byłoby przygotować w tej sytuacji dla \(12\) osób, tak aby zachować proporcje, to ułożylibyśmy takie oto równanie:
$$\frac{100}{4}=\frac{x}{12}$$
Jest to równanie, które jak najbardziej jesteśmy w stanie rozwiązać. Wystarczy obustronnie pomnożyć całość przez \(12\), zatem:
$$\frac{100}{4}=\frac{x}{12} \quad\bigg/\cdot12 \\
\frac{100}{4}\cdot12=x \\
x=25\cdot12 \\
x=300$$
To właśnie budowanie i rozwiązywanie tego typu równań jest kluczową umiejętnością w dziale proporcji, dlatego przećwiczmy sobie to na jakimś nowym przykładzie.
Rozwiązanie:
Z treści zadania wynika, że jeżeli podzielimy \(x\) przez \(7\), to otrzymamy dokładnie ten sam wynik, co dzieląc \(x+8\) przez \(11\), zatem moglibyśmy zapisać następujące równanie:
$$\frac{x}{7}=\frac{x+8}{11}$$
Jest to równanie z jedną niewiadomą, więc rozwiązywanie takich równań nie powinno stanowić problemu (mimo, iż ta niewiadoma znajduje się w dwóch ułamkach). Jest wiele sposobów na rozwiązanie takiego równania (za chwilę powiemy sobie o jednej bardzo charakterystycznej metodzie nazywanej „mnożeniem na krzyż”), ale takim najbardziej oczywistym podejściem będzie rozpoczęcie od wymnożenia obydwu stron równania przez \(7\), zatem:
$$\frac{x}{7}=\frac{x+8}{11} \quad\bigg/\cdot7 \\
x=\frac{x+8}{11}\cdot 7 \quad\bigg/\cdot11 \\
11x=(x+8)\cdot7 \\
11x=7x+56 \\
4x=56 \\
x=14$$
To oznacza, że poszukiwaną liczbą jest właśnie \(14\).
Mnożenie na krzyż
Rozwiązywaliśmy przed chwilą równanie \(\frac{x}{7}=\frac{x+8}{11}\) i choć sam sposób rozwiązywania był jak najbardziej poprawny, to jednak w przypadku tego typu równań istnieje znacznie szybsza i wygodniejsza metoda dokonywania obliczeń. Chodzi tutaj o tzw. „mnożenie na krzyż”, które polega na tym, że licznik pierwszego ułamka mnożymy przez mianownik ułamka drugiego i przyrównujemy to do iloczynu mianownika pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka. Zgodnie z tą metodą mnożenia na krzyż, moglibyśmy zapisać, że:
$$x\cdot11=7\cdot(x+8) \\
11x=7x+56 \\
4x=56 \\
x=14$$
Jak widać obliczenia za pomocą mnożenia na krzyż są znacznie łatwiejsze, stąd też bardzo często będziemy stosować właśnie tę metodę rozwiązywania równań.
W klasie 8a jest o \(4\) chłopców więcej niż jest dziewczyn. Na lekcji WF-u chłopcy zostali podzieleni na \(3\) grupy, a dziewczyny na \(2\), co sprawiło, że każda grupa miała tyle samo osób. Oblicz ilu uczniów liczy klasa 8a.
Rozwiązanie:
Aby się nie pogubić w obliczeniach, wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) – liczba dziewczyn
\(x+4\) – liczba chłopców
Z treści zadania wynika, że gdy \(x+4\) chłopców podzielimy na \(3\) grupy, to każda grupa będzie tak samo liczna, jak w momencie gdy \(x\) dziewczyn podzielimy na \(2\) zespoły. Moglibyśmy więc zapisać, że:
$$\frac{x+4}{3}=\frac{x}{2}$$
Teraz mnożąc na krzyż, otrzymamy:
$$(x+4)\cdot2=3\cdot x \\
2x+8=3x \\
8=x \\
x=8$$
Równanie jest policzone poprawnie, ale to nie koniec tego zadania. Celem zadania jest podanie liczby wszystkich uczniów, a \(x=8\) oznacza, że mamy \(8\) dziewczyn. Dlatego też szybko wyliczamy, że chłopców w tej klasie jest \(8+4=12\), czyli tym samym wszystkich uczniów mamy łącznie:
$$8+12=20$$
Zapisywanie założeń
Do tej pory niewiadoma \(x\) pojawiała nam się w licznikach ułamków. Możemy jednak spotkać się z bardziej problematyczną sytuacją, w której niewiadoma \(x\) będzie w mianowniku. Ot chociażby równanie \(\frac{2}{x}=\frac{4}{8}\) ma właśnie w pierwszym ułamku niewiadomą zapisaną w mianowniku. Dlaczego taka sytuacja stanowi problem? Powód jest dość prosty – na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), więc tym samym wartość takiego mianownika powinna być różna od \(0\). Z tego też względu w takiej sytuacji dobrą praktyką byłoby zapisanie założenia, że \(x\neq0\). W szkole podstawowej podchodzimy do tego dość luźno i zdarza się, że zapisywanie założeń nie jest w ogóle wymagane. Jednakże już w liceum/technikum zapisywanie założeń jest niezwykle istotne, bo założenia mogą wpływać na wykluczeniu jakiegoś rozwiązania.
Rozwiązanie:
Wartości mianowników muszą być różne od zera, zatem powinniśmy przyjąć, że \(x+3\neq0\) oraz że \(x\neq0\). Chcąc być bardziej precyzyjnym, można byłoby przekształcić ten pierwszy zapis i dodać, że w takim razie \(x\neq-3\) oraz \(x\neq0\).
Teraz możemy przystąpić do obliczeń i tutaj oczywiście skorzystamy z metody mnożenia na krzyż:
$$2\cdot x=(x+3)\cdot5 \\
2x=5x+15 \\
-3x=15 \\
x=-5$$
Otrzymane rozwiązanie nie wyklucza się z założeniami, więc wynik jest jak najbardziej poprawny.
W szkole podstawowej z tematem proporcji mocno związane jest zagadnienie „wielkości wprost proporcjonalnych”, których omówienie znajdziesz poniżej:
W szkole średniej omawiamy jeszcze dodatkowo „wielkości odwrotnie proporcjonalne”, o których przeczytasz tutaj:
Zobacz także sprawdzian do tego tematu: