Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta

Rozpatrzmy najpierw trójkąty \(ABC\) oraz \(FBG\). Oba są prostokątne i mają wspólny kąt \(\sphericalangle GBF\). Możemy sobie ten kąt oznaczyć jako \(α\) (patrz: rysunek). Skoro te dwie miary kątów w tych trójkątach (kąt prosty oraz kąt \(α\)) są jednakowe, to znaczy że także trzeci kąt ma jednakową miarę, czyli możemy zapisać, że \(|\sphericalangle GFB|=|\sphericalangle ACB|=β\). Mamy więc w tym momencie następującą sytuację:

To teraz spójrzmy na trójkąt \(CDE\). Znamy już dwie miary kątów w tym trójkącie, są one dokładnie takie same jak w trójkącie \(FBG\), a więc i trzeci kąt musi być jednakowy, nie ma innej możliwości. Dzięki temu wiemy, że na pewno także \(|\sphericalangle CDE|=α\). To w zasadzie kończy nasze dowodzenie, bo udowodniliśmy, że trójkąty te są podobne na podstawie cechy podobieństwa kąt-kąt-kąt.

Udowodniono na podstawie cechy podobieństwa kąt-kąt-kąt.