Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD oraz wysokości AD

Dany jest trapez prostokątny \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) oraz wysokości \(AD\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina ramię \(AD\) w punkcie \(E\) oraz dwusieczną kąta \(BCD\) w punkcie \(F\) (zobacz rysunek).

dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD
Wykaż, ze w czworokącie \(CDEF\) sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.

Rozwiązanie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Wewnątrz trapezu zostały poprowadzone dwie dwusieczne, więc możemy nanieść na rysunek miary kątów \(α\) oraz \(β\) w następujący sposób:

dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD

Krok 2. Wykorzystanie własności trapezu do obliczenia sumy miar kątów \(α\) oraz \(β\).

Spójrzmy na trapez \(ABCD\). Jedną z własności trapezu jest to, że suma kątów przy jednym ramieniu jest równa \(180°\). To oznacza, że:
$$|\sphericalangle ABC|+|\sphericalangle BCD|=180° \\
2α+2β=180° \quad\bigg/:2 \\
α+β=90°$$

Gdybyśmy nie pamiętali o tym, że suma miar przy jednym ramieniu trapezu jest równa \(180°\), to mogliśmy od \(360°\) odliczyć dwa kąty proste \(DAB\) oraz \(CDA\) i także doszlibyśmy do wniosku, że \(|\sphericalangle ABC|+|\sphericalangle BCD|=180°\).

Krok 3. Obliczenie miary kątów \(BFC\) oraz \(EFC\).

Zacznijmy od kąta \(BFC\). Jego miarę możemy oznaczyć jako \(180°-(α+β)\), bo suma kątów w trójkącie \(BFC\) musi być równa \(180°\). Wiedząc, że \(α+β=90°\) okazuje się, że \(|\sphericalangle BFC|=90°\).

Kąt \(EFC\) jest przyległy do kąta \(BFC\), a więc jego miara jest równa \(180°-90°=90°\).

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.

Spójrzmy na czworokąt \(CDEF\).
Skoro \(|\sphericalangle EFC|=90°\) oraz \(|\sphericalangle CDE|=90°\), to suma miar pierwszej pary kątów leżących naprzeciwko siebie jest równa \(180°\).

Suma kątów w czworokącie musi być równa \(360°\), więc to oznacza, że suma kątów w drugiej parze kątów przeciwległych jest równa:
$$|\sphericalangle FCD|+|\sphericalangle DEF|=360°-180°=180°$$

Suma miar przeciwległych kątów czworokąta \(CDEF\) jest więc jednakowa, co należało udowodnić.

Odpowiedź:

Udowodniono wykorzystując własności trapezów i kątów.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.