W trójkącie ABC dane są długości dwóch boków |AB|=12, |BC|=8

W trójkącie $ABC$ dane są długości dwóch boków $|AB|=12$, $|BC|=8$ oraz miara kąta $|\sphericalangle ABC|=60°$.

Oblicz długość środkowej tego trójkąta, poprowadzonej z wierzchołka $A$.

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Środkowa trójkąta to prosta łącząca wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku tego trójkąta. Sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać następująco:
matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie długości środkowej tego trójkąta.
Spójrzmy na trójkąt $ABD$. Znamy długości dwóch boków tego trójkąta i miarę kąta między tymi bokami. Chcąc więc poznać długość boku $AD$ (czyli boku naprzeciwko kąta o znanej mierze), możemy skorzystać z twierdzenia cosinusów:
$$|AD|^2=|AB|^2+|BD|^2-2\cdot|AB|\cdot|BD|\cdot cos60° \\
|AD|^2=12^2+4^2-2\cdot12\cdot4\cdot\frac{1}{2} \\
|AD|^2=112 \\
|AD|=\sqrt{112} \quad\lor\quad |AD|=-\sqrt{112}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy (bo długość boku nie może być ujemna), zatem zostaje nam $|AD|=\sqrt{112}$, co możemy jeszcze rozpisać jako $|AD|=\sqrt{16\cdot7}=4\sqrt{7}$.

Odpowiedź

$|AD|=4\sqrt{7}$

Zadania

W trójkącie ABC dane są długości dwóch boków |AB|=12, |BC|=8

W trójkącie \(ABC\) dane są długości dwóch boków \(|AB|=12\), \(|BC|=8\) oraz miara kąta \(|\sphericalangle ABC|=60°\).

Oblicz długość środkowej tego trójkąta, poprowadzonej z wierzchołka \(A\).

W trójkącie \(ABC\) dane są długości dwóch boków \(|AB|=12\), \(|BC|=8\) oraz miara kąta \(|\sphericalangle ABC|=60°\). Oblicz długość środkowej tego trójkąta, poprowadzonej z wierzchołka \(A\).

W trójkącie \(ABC\) dane są długości dwóch boków \(|AB|=12\), \(|BC|=8\) oraz miara kąta \(|\sphericalangle ABC|=60°\).

Oblicz długość środkowej tego trójkąta, poprowadzonej z wierzchołka \(A\).