Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości H=16. Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości \(H=16\). Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie tę sytuację i zaznaczmy na rysunku dane podane w treści zadania:

matura z matematyki

Krok 2. Wyznaczenie długości krawędzi bocznej.
Skoro cosinus kąta \(α\) jest równy \(\frac{3}{5}\), to zgodnie z naszymi oznaczeniami:
$$cosα=\frac{b}{c} \\
\frac{3}{5}=\frac{b}{c} \\
b=\frac{3}{5}c$$

Teraz korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$b^2+H^2=c^2 \\
\left(\frac{3}{5}c\right)^2+16^2=c^2 \\
\frac{9}{25}c^2+256=c^2 \\
\frac{16}{25}c^2=256 \quad\bigg/\cdot\frac{25}{16} \\
c^2=400 \\
c=20 \quad\lor\quad c=-20$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości, zatem zostaje nam \(c=20\).

Krok 3. Wyznaczenie długości przekątnej podstawy.
Nasz odcinek \(b\) jest połową długości przekątnej podstawy. Obliczmy zatem jego miarę, korzystając z danych z poprzedniego kroku. Wiedząc, że \(b=\frac{3}{5}c\) oraz \(c=20\) otrzymamy:
$$b=\frac{3}{5}\cdot20 \\
b=12$$

Skoro \(b\) jest połową długości całej przekątnej, to możemy zapisać, że przekątna ma długość:
$$d=2b \\
d=2\cdot12 \\
d=24$$

Krok 4. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
W podstawie ostrosłupa znajduje się kwadrat (bo jest to ostrosłup prawidłowy). Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(d=a\sqrt{2}\). My znamy długość przekątnej tego kwadratu i wiemy że jest to \(d=24\), zatem:
$$a\sqrt{2}=24 \\
a=\frac{24}{\sqrt{2}} \\
a=\frac{24\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
a=\frac{24\sqrt{2}}{2} \\
a=12\sqrt{2}$$

Krok 5. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi. Z własności trójkątów równoramiennych wynika, że wysokość takiego trójkąta dzieli podstawę na dwie równe części, czyli w ścianach bocznych mamy taką oto sytuację:

matura z matematyki

W związku z tym aby obliczyć wysokość trójkąta musimy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
$$h^2+(6\sqrt{2})^2=20^2 \\
h^2+36\cdot2=400 \\
h^2+72=400 \\
h^2=328 \\
h=\sqrt{328} \quad\lor\quad h=-\sqrt{328}$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo wysokość nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(h=\sqrt{328}\). Możemy jeszcze spróbować wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka:
$$h=\sqrt{328}=\sqrt{4\cdot82}=2\sqrt{82}$$

Krok 6. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
W ścianie bocznej mamy trójkąt o podstawie \(a=12\sqrt{2}\) oraz wysokości \(h=2\sqrt{82}\). Musimy policzyć pole powierzchni bocznej, czyli interesuje nas łączna powierzchnia wszystkich czterech ścian, zatem:
$$P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}ah \\
P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot12\sqrt{2}\cdot2\sqrt{82} \\
P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot12\sqrt{2}\cdot2\sqrt{82} \\
P_{b}=48\sqrt{164} \\
P_{b}=48\sqrt{4\cdot41} \\
P_{b}=48\cdot2\sqrt{41} \\
P_{b}=96\sqrt{41}$$

Odpowiedź

\(P_{b}=96\sqrt{41}\)

Dodaj komentarz