Twierdzenie sinusów

Twierdzenie sinusów dotyczy zależności między bokiem dowolnego trójkąta (nie tylko prostokątnego), a sinusem kąta leżącego naprzeciwko tego boku.

Twierdzenie sinusów

$$\frac{a}{\sinα}=\frac{b}{\sinβ}=\frac{c}{\sinγ}=2R$$

\(a, b, c\) – długości boków
\(α, β, γ\) – kąty leżące naprzeciw danego boku
\(R\) – długość promienia okręgu, który jest opisany na tym trójkącie

Powyższy wzór oznacza, że np. dzieląc długość boku trójkąta przez sinus przeciwległego kąta otrzymamy liczbę równą dwóm promieniom okręgu (czyli jego średnicę). To co jednak jest istotniejsze (czyli to co jest częściej wykorzystywane w zadaniach) to fakt, że poszczególne stosunki długości boków trójkąta i odpowiednich kątów są sobie równe, a to pozwoli nam na układanie odpowiednich równań.

Przykład 1. Oblicz długość boku \(b\).

Korzystając z twierdzenia sinusów wiemy, że:
$$\frac{4}{sin30°}=\frac{b}{sin45°}$$

Jest to bardzo proste równanie, bowiem mamy tylko jedną niewiadomą i to dokładnie tą, której szukamy, czyli \(b\). Wartości sinusów są następujące:
$$sin30°=0,5 \\
sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Podstawmy teraz wszystko do wzoru i wyliczmy szukaną wartość:
$$\frac{4}{0,5}=\frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\\
8=\frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\
8\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=b \\
b=4\sqrt{2}$$

Odcinek \(b\) ma długość \(4\sqrt{2}\).