Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych AC, BC takich, że AC=6 i BC=8. Okrąg o środku C i promieniu r=AC

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(AC,BC\) takich, że \(AC=6\) i \(BC=8\). Okrąg o środku \(C\) i promieniu \(r=AC\) przecina przeciwprostokątną \(AB\) w punkcie \(P\). Wyznacz długość odcinka \(BP\).

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zadanie jest dość nietypowe, więc spróbujmy zwizualizować sobie tą całą sytuację. Musimy przy okazji dobrać takie oznaczenia, żeby faktycznie odcinki \(AC\) oraz \(BC\) były przyprostokątnymi:

matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Z Twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej naszego trójkąta \(ABC\):
$$6^2+8^2=|AB|^2 \\
36+64=|AB|^2 \\
100=|AB|^2 \\
|AB|=10 \quad\lor\quad |AB|=-10$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|AB|=10\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABC\).
Obliczenie pola trójkąta przyda nam się za chwilę do wyznaczenia drugiej wysokości tego trójkąta. W trójkącie prostokątnym obliczenie pola powierzchni jest proste, bo przyprostokątne są podstawią i wysokością takiego trójkąta, zatem:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
P=\frac{1}{2}\cdot6\cdot8 \\
P=3\cdot8 \\
P=24$$

Krok 4. Obliczenie drugiej wysokości trójkąta.
Spójrzmy ponownie na rysunek:

matura z matematyki

Połączyliśmy sobie punkt \(C\) z punktem \(P\), tworząc odcinek \(CP\). Długość tego odcinka jest równa promieniowi okręgu, czyli wynosi \(6\). To oznacza, że trójkąt \(ACP\) jest równoramienny. Teraz plan działania jest następujący: obliczymy wysokość trójkąta \(ABC\) (czyli odcinek \(CD\)), który jest jednocześnie wysokością trójkąta \(ACP\). Znając długości ramion oraz wysokość \(CD\) obliczymy długość podstawy \(AP\), a interesujący nas odcinek \(BP\) będzie różnicą między odcinkiem \(AB\) oraz \(AP\).

Przystąpmy zatem do obliczenia długości \(CD\), czyli wysokości trójkąta \(ABC\), która idzie z wierzchołka \(C\). Wiemy, że pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(24\), wiemy że przeciwprostokątna ma długość \(10\), zatem wysokość \(CD\) ma długość:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
24=\frac{1}{2}\cdot10\cdot|CD| \\
24=5\cdot|CD| \\
|CD|=4,8$$

Krok 5. Obliczenie długości odcinka \(DP\).
Długość odcinka \(DP\) obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$|DP|^2+|CD|^2=|CP|^2 \\
|DP|^2+4,8^2=6^2 \\
|DP|^2+23,04=36 \\
|DP|^2=12,96 \\
|DP|=3,6 \quad\lor\quad |DP|=-3,6$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|DP|=3,6\).

Krok 6. Obliczenie długości odcinka \(AP\).
Odcinek \(DP\) jest połową długości odcinka \(AP\) (bo wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli podstawę na dwie równe części). To oznacza, że odcinek \(AP\) jest dwukrotnie większy od odcinka \(DP\), zatem:
$$|AP|=2\cdot3,6 \\
|AP|=7,2$$

Krok 7. Obliczenie długości odcinka \(BP\).
Odcinek BP obliczymy odejmując od odcinka \(AB\) długość odcinka \(AP\), zatem:
$$|BP|=|AB|-|AP| \\
|BP|=10-7,2 \\
|BP|=2,8$$

Odpowiedź

\(|BP|=2,8\)

Dodaj komentarz