Dany jest romb o boku długości 35. Długości przekątnych tego rombu różnią się o 14. Oblicz pole tego rombu

Dany jest romb o boku długości \(35\). Długości przekątnych tego rombu różnią się o \(14\). Oblicz pole tego rombu.

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Pamiętając o tym, że przekątne kwadratu przecinają się w połowie swojej długości pod kątem prostym możemy naszkicować taki oto rysunek:

matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie wartości \(x\).
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$(x+7)^2+x^2=35^2 \\
x^2+14x+49+x^2=1225 \\
2x^2+14x-1176=0 \\
x^2+7x-588=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które obliczymy korzystając z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=7,\;c=-588\)
$$Δ=b^2-4ac=7^2-4\cdot1\cdot(-588)=49-(-2352)=49+2352=2401 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{2401}=49$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-7-49}{2\cdot1}=\frac{-56}{2}=-28 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-7+49}{2\cdot1}=\frac{42}{2}=21$$

Ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo długość odcinka nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(x=21\).

Krok 4. Zapisanie długości przekątnych rombu.
Zgodnie z naszymi oznaczeniami z rysunku przekątne mają długość \(2x\) oraz \(2x+14\). Skoro wyszło nam, że \(x=21\), to znaczy że przekątne mają długość \(2\cdot21=42\) oraz \(2\cdot21+14=56\).

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni rombu.
Znając długości przekątnych możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}\cdot e\cdot f \\
P=\frac{1}{2}\cdot42\cdot56 \\
P=21\cdot56 \\
P=1176$$

Odpowiedź

\(P=1176\)

Dodaj komentarz