Dane są punkty A=(-2,5) oraz B=(4,-1). Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym ABC jest równy

Dane są punkty \(A=(-2,5)\) oraz \(B=(4,-1)\). Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym \(ABC\) jest równy:

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\).
Znamy współrzędne punktu \(A\) oraz \(B\), stąd też możemy obliczyć długość boku \(AB\), korzystając ze wzoru:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(4-(-2))^2+(-1-5)^2} \\
|AB|=\sqrt{(4+2)^2+(-1-5)^2} \\
|AB|=\sqrt{6^2+(-6)^2} \\
|AB|=\sqrt{36+36} \\
|AB|=\sqrt{72} \\
|AB|=\sqrt{36\cdot2} \\
|AB|=6\sqrt{2}$$

Jest to trójkąt równoboczny, stąd też wiemy, że każdy bok tego trójkąta ma miarę \(a=6\sqrt{2}\).

Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABC\).
Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym stanowi \(\frac{2}{3}\) wysokości tego trójkąta. Obliczmy zatem tę wysokość:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
h=\frac{6\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2} \\
h=\frac{6\sqrt{6}}{2} \\
h=3\sqrt{6}$$

Krok 3. Obliczenie długości promienia okręgu.
Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie wcześniej, promień okręgu opisanego na trójkącie stanowi \(\frac{2}{3}\) wysokości, czyli:
$$R=\frac{2}{3}\cdot h \\
R=\frac{2}{3}\cdot3\sqrt{6} \\
R=2\sqrt{6}$$

Odpowiedź

B

Dodaj komentarz