Egzamin gimnazjalny - Matematyka - 2016

Poniżej znajduje się egzamin gimnazjalny z matematyki 2016. Jest to arkusz interaktywny, co oznacza że możesz na nim zaznaczać odpowiedzi, otrzymując na koniec nie tylko wynik, ale także wskazanie poprawnych i błędnych odpowiedzi. Jeżeli chcesz tylko przejrzeć zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku lub też pobrać ten arkusz w formie pliku PDF, to na dole strony znajdziesz stosowne linki. Powodzenia!

Uwaga! Nie uzupełniłeś jeszcze wszystkich zadań.
Napewno chcesz zakończyć test?

Egzamin gimnazjalny 2016 - matematyka

Egzamin zawiera 20 zadań zamkniętych oraz 3 zadania otwarte. Łącznie do zdobycia jest 28 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 90 minut.

W przypadku zadań zamkniętych musisz wybrać jedną z czterech odpowiedzi ABCD. Zadania otwarte rozwiąż na kartce papieru, a następnie przydziel sobie za nie odpowiednią liczbę punktów zgodnie z punktacją, która wyświetli się na ekranie. Zadania otwarte mają dodatkowo możliwość podejrzenia proponowanego rozwiązania, tak abyś mógł/a jak najrzetelniej przyznać sobie punkty za zadanie.

Jeżeli nie masz pewności jak rozwiązać dane zadanie, to możesz je opuścić i wrócić niego w dowolnej chwili. Kiedy uzupełnisz wszystkie zadania kliknij w przycisk zakończ. Na ekranie pojawi Ci się wtedy liczba zdobytych punktów oraz będziesz mieć możliwość przejrzenia swoich odpowiedzi wraz z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Jeżeli jesteś gotowy/a to możesz przejść do pierwszego zadania.

Zadanie 1. (1pkt) Zastęp harcerzy wyruszył z przystanku autobusowego do obozowiska. Na wykresie przedstawiono zależność między odległością harcerzy od obozowiska a czasem wędrówki.
egzamin ósmoklasisty

Które z poniższych zdań jest fałszywe?

Harcerze dotarli do obozowiska po $2,5$ godziny.

W ciągu pierwszej godziny harcerze przeszli $2km$.

Podczas wędrówki harcerze zatrzymali się na $30$-minutowy postój.

O godzinie 14:15 harcerze byli w odległości $2km$ od obozowiska.

Zadanie 2. (1pkt) Odległość między punktami, które na osi liczbowej odpowiadają liczbom $-2,3$ i $\frac{1}{3}$, jest równa:

$-2,3-\frac{1}{3}$

$2,3-\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3}-2,3$

$\frac{1}{3}+2,3$

Zadanie 3. (1pkt) Z cyfr $2$, $3$ i $5$ Ania utworzyła wszystkie możliwe liczby trzycyfrowe o różnych cyfrach. Które z poniższych zdań jest prawdziwe?

Wszystkie liczby utworzone przez Anię są nieparzyste.

Wszystkie liczby utworzone przez Anię są mniejsze od $530$.

Dwie liczby utworzone przez Anię są podzielne przez $5$.

Wśród liczb utworzonych przez Anię są liczby podzielne przez $3$.

Zadanie 4. (1pkt) Dane są liczby:
I. $25^{41}$
II. $125^{41}$
III. $2^{862}$
IV. $5^{431}$
Która z tych liczb jest największa?

III

Zadanie 5. (1pkt) Liczba $\sqrt[3]{81\cdot64}$ jest równa:

$72$

$36$

$24\sqrt[3]{3}$

$12\sqrt[3]{3}$

Zadanie 6. (1pkt) W tabeli podano, w jaki sposób zmienia się cena biletu na prom w ciągu całego roku.
egzamin ósmoklasisty

Bilet na prom w sezonie letnim jest droższy od biletu w sezonie zimowym o:

$88zł$

$72zł$

$48zł$

$32zł$

Zadanie 7. (1pkt) Dane są liczby $a$ i $b$ takie, że $2\lt a\lt3$ oraz $-1\lt b\lt1$.

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Iloraz $\frac{b}{a}$ jest zawsze dodatni.

Różnica $b-a$ jest zawsze dodatnia.

Zadanie 8. (1pkt) W klasie IIIa liczba dziewcząt stanowi $\frac{2}{3}$ liczby wszystkich uczniów tej klasy. W klasie IIIa:

Jest więcej chłopców niż dziewcząt.

Liczba dziewcząt stanowi $\frac{2}{3}$ liczby chłopców.

Jest dwa razy więcej dziewcząt niż chłopców.

Stosunek liczby chłopców do liczby dziewcząt jest równy $1:3$.

Zadanie 9. (1pkt) Cenę roweru obniżono o $8\%$. Klient kupił rower po obniżonej cenie i dzięki temu zapłacił o $120zł$ mniej, niż zapłaciłby przed obniżką. Przed obniżką ten rower kosztował:

$2000zł$

$1500zł$

$1380zł$

$960zł$

Zadanie 10. (1pkt) W pewnym zakładzie każdy z pracowników codziennie maluje taką samą liczbę jednakowych ozdób. Pracownicy potrzebowali $12$ dni roboczych, aby wykonać zamówienie. Gdyby było ich o dwóch więcej, to czas wykonania tego zamówienia byłby o $3$ dni krótszy. Liczbę pracowników $x$ tego zakładu można obliczyć, rozwiązując równanie:

$12x=9(x-3)$

$12x=9(x+2)$

$12(x-3)=9x$

$12(x+2)=9x$

Zadanie 11. (1pkt) Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji.
egzamin ósmoklasisty

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Funkcja przyjmuje wartość największą dla argumentu $4$.

Funkcja przyjmuje wartość $0$ dla czterech argumentów.

Zadanie 12. (1pkt) W układzie współrzędnych narysowano sześciokąt foremny o boku $2$ tak, że jednym z jego wierzchołków jest punkt $(0,0)$, a jeden z jego boków leży na osi $x$ (rysunek).
egzamin ósmoklasisty

Współrzędne wierzchołka $K$ tego sześciokąta są równe:

$(3, \sqrt{3})$

$(\sqrt{3}, 3)$

$(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

$(3, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Zadanie 13. (1pkt) Do sześciokąta foremnego o boku długości $2$ (przedstawionego na poniższym rysunku) dorysowujemy kolejne takie same sześciokąty. Umieszczamy je tak, jak na rysunku, aby każdy następny sześciokąt miał z poprzednim dokładnie jeden wspólny wierzchołek oraz by jeden bok każdego sześciokąta leżał na osi $x$. Poniżej przedstawiono dorysowane, zgodnie z tą regułą, sześciokąty, które ponumerowano kolejnymi liczbami naturalnymi.
egzamin ósmoklasisty

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Pierwsza współrzędna wierzchołka $L$ w drugim sześciokącie jest równa $6$.

Pierwsza współrzędna wierzchołka $M$ w $n$-tym sześciokącie jest równa $4n-2$.

Zadanie 14. (1pkt) Kasia ma $6$ lat. Średnia arytmetyczna wieku Ani i Pawła jest równa $12$ lat. Średnia arytmetyczna wieku Kasi, Ani i Pawła jest równa:

$6$ lat

$9$ lat

$10$ lat

$15$ lat

Zadanie 15. (1pkt) Na rysunku przedstawiono siatkę nietypowej sześciennej kostki do gry. Rzucamy jeden raz taką kostką.
egzamin ósmoklasisty

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Prawdopodobieństwo wyrzucenia nieparzystej liczby oczek jest $2$ razy większe niż prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek.

Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek mniejszej od $3$ jest równe $\frac{5}{6}$.

Zadanie 16. (1pkt) Proste $KA$ i $KB$ są styczne do okręgu o środku $S$ w punktach $A$ i $B$, a kąt $BMA$ ma miarę $42°$ (rysunek).
egzamin ósmoklasisty

Kąt $AKB$ jest równy:

$58°$

$52°$

$48°$

$42°$

Zadanie 17. (1pkt) Punkty $E$ i $F$ są środkami boków $BC$ i $CD$ kwadratu $ABCD$ (rysunek).
egzamin ósmoklasisty

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Pole trójkąta $FEC$ stanowi $\frac{1}{8}$ pola kwadratu $ABCD$.

Pole czworokąta $DBEF$ stanowi $\frac{3}{8}$ pola kwadratu $ABCD$.

Zadanie 18. (1pkt) Ewa narysowała kwadrat o boku $1$, prostokąt o bokach $2$ i $1$ oraz kąt prosty o wierzchołku $O$.
egzamin ósmoklasisty

Następnie od wierzchołka $O$ kąta prostego odmierzyła na jednym ramieniu kąta odcinek $OA$ o długości równej przekątnej kwadratu, a na drugim ramieniu - odcinek $OB$ o długości równej przekątnej prostokąta. Długość odcinka $AB$ jest równa:

$\sqrt{7}$

$\sqrt{2}+\sqrt{5}$

$\sqrt{5}$

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$

Zadanie 19. (1pkt) Każdy bok kwadratu $ABCD$ podzielono na $3$ równe części i połączono kolejno punkty podziału, w wyniku czego otrzymano ośmiokąt (rysunek).
egzamin ósmoklasisty

Które z poniższych zdań jest prawdziwe?

Ośmiokąt jest foremny

Wszystkie boki ośmiokąta mają taką samą długość

Każdy kąt wewnętrzny ośmiokąta ma miarę $135°$

Obwód ośmiokąta jest większy od obwodu kwadratu $ABCD$

Zadanie 20. (1pkt) Na rysunku poniżej przedstawiono siatkę sześcianu. Punkty: $P, S, T, W, Z$ są środkami jego krawędzi.
egzamin ósmoklasisty

Po złożeniu sześcianu z tej siatki punkt $P$ pokryje się z punktem:

$W$

$Z$

$T$

$S$

Zadanie 21. (2pkt) Jedenaście piłeczek, ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi od $1$ do $11$, wrzucono do pudełka. Janek, nie patrząc na piłeczki, wyjmuje je z pudełka. Ile najmniej piłeczek musi wyjąć Janek, aby mieć pewność, że przynajmniej jedna wyjęta piłeczka jest oznaczona liczbą parzystą? Odpowiedź uzasadnij.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy podasz poprawną odpowiedź, ale jej w żaden sposób nie uzasadnisz.
ALBO
• Gdy zauważysz, że można najpierw wyjmować wszystkie piłki z nieparzystymi numerami.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik i go uzasadnisz.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Ustalenie liczby parzystych i nieparzystych piłeczek.
Liczb parzystych będzie łącznie pięć: $2,4,6,8,10$
Liczb nieparzystych będzie łącznie sześć: $1,3,5,7,9,11$

Krok 2. Wyznaczenie liczby piłeczek potrzebnych do wyciągnięcia.
Naszym zadaniem jest wylosowanie piłki z liczbą parzystą. W najgorszym możliwym wariancie Janek będzie losował od samego początku liczby nieparzyste. Aby mieć więc pewność, że wylosowana liczba jest parzysta, musimy wylosować przynajmniej $7$ piłeczek, bo nawet jak sześć pierwszych liczb to będą numery nieparzyste, to siódmy będzie musiał już być parzysty, bo tylko takie zostaną wtedy w puli.

Zadanie 22. (3pkt) Uczniowie klas trzecich pewnego gimnazjum pojechali na wycieczkę pociągiem. W każdym zajętym przez nich przedziale było ośmioro uczniów. Jeśli w każdym przedziale byłoby sześcioro uczniów, to zajęliby oni o $3$ przedziały więcej. Ilu uczniów pojechało na tę wycieczkę?
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz poprawne oznaczenia w taki sposób, że masz tylko jedną niewiadomą $x$ (Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz jedno z dwóch równań z których da się stworzyć układ równań np. $\frac{x}{8}=y$ lub $\frac{x}{6}=y+3$, gdzie $x$ to liczba uczniów, natomiast $y$ to liczba zajętych przedziałów.
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie równanie np. $8x=6(x+3)$.
ALBO
• Gdy zbudujesz poprawny układ równań np. $\frac{x}{8}=y$ lub $\frac{x}{6}=y+3$, gdzie $x$ to liczba uczniów, natomiast $y$ to liczba zajętych przedziałów.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
$x$ - liczba ośmioosobowych przedziałów
$8x$ - liczba uczniów w pociągu z ośmioosobowymi (bo w każdym przedziale jest ośmiu uczniów)

$x+3$ - liczba sześcioosobowych przedziałów
$6(x+3)$ - liczba uczniów w pociągu z sześcioosobowymi przedziałami

Krok 2. Obliczenie liczby przedziałów ośmioosobowych.
Liczba uczniów jest niezmienna, więc między wartościami $8x$ oraz $6(x+3)$ możemy postawić znak równości. To pozwoli nam obliczyć niewiadomą $x$, czyli liczbę przedziałów ośmioosobowych.
$$8x=6(x+3) \\
8x=6x+18 \\
2x=18 \\
x=9$$

To oznacza, że jest dziewięć przedziałów ośmioosobowych.

Krok 3. Obliczenie liczby uczniów.
Skoro wiemy, że było dziewięć przedziałów ośmioosobowych, to znaczy, że uczniów było:
$$9\cdot8=72$$

Zadanie 23. (3pkt) Pojemnik z kremem ma kształt walca o promieniu podstawy $4cm$ i wysokości $4,5cm$. Po jego otwarciu okazało się, że krem wypełnia tylko wyżłobioną w pojemniku półkulę o promieniu $3cm$. Ile razy objętość tej półkuli jest mniejsza od objętości walca?
egzamin ósmoklasisty
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz poprawnie objętości walca (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz poprawnie objętości półkuli lub kuli (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz poprawnie objętości walca i półkuli lub walca i kuli (Krok 1. i 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie objętości walca.
Promień podstawy walca jest równy $r=4cm$, wysokość wynosi $h=4,5cm$, zatem objętość walca jest równa:
$$V_{w}=πr^2\cdot h \\
V_{w}=π4^2\cdot4,5 \\
V_{w}=16π\cdot4,5 \\
V_{w}=72π[cm^3]$$

Krok 2. Obliczenie objętości półkuli.
Oczywiście wzoru jako takiego na objętość półkuli nie mamy, ale znając wzór na objętość kuli $V_{k}=\frac{4}{3}πr^3$ możemy pomnożyć całość przez $\frac{1}{2}$ i otrzymamy wtedy objętość półkuli. Z racji tego iż półkula ma promień o długości $r=3cm$, to jej objętość będzie równa:
$$V_{p}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}πr^3 \\
V_{p}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}π\cdot3^3 \\
V_{p}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}π\cdot27 \\
V_{p}=\frac{1}{2}\cdot36π \\
V_{p}=18π[cm^3]$$

Krok 3. Obliczenie stosunku objętości walca do objętości półkuli.
Znając obydwie objętości bez problemu możemy odpowiedzieć ile razy objętość półkuli jest mniejsza od objętości walca:
$$\frac{V_{w}}{V_{p}}=\frac{72π\;cm^3}{18π\;cm^3}=4$$

To oznacza, że objętość półkuli jest czterokrotnie mniejsza od objętości walca.

Zdobyłeś/aś: 0/28pkt

Zobacz swój test

Popraw test

Zobacz także odpowiedzi oraz arkusz PDF:

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2016 – Odpowiedzi

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2016 – PDF