Próbny egzamin ósmoklasisty – Matematyka – Nowa Era 2018 – Odpowiedzi

D

Rozpiszmy sobie po kolei całą trasę pokonywaną przez Kasię:
\(30\) minut - tyle trwa podróż autobusem
\(15\) minut (kwadrans) - tyle trwa dojście do szkoły
\(8\) minut - tyle opóźnienia miał autobus

Łącznie podróż tego dnia trwała: \(30+15+8=53\) minuty.

Skoro podróż autobusem zaczęła się o \(7:06\) i trwała w sumie \(53\) minuty, to do szkoły Kasia dotarła o godzinie \(7:59\).

D

Krok 1. Zapisanie dat urodzin i śmierci pisarzy.
Spróbujmy zapisać daty urodzin i śmierci polskich pisarzy za pomocą liczb arabskich:
Adam Mickiewicz: \(1798 - 1855\)
Cyprian Kamil Norwid: \(1821 - 1883\)
Jan Kasprowicz: \(1860 - 1926\)
Stanisław Ignacy Witkiewicz: \(1885 - 1939\)

Krok 2. Obliczenie długości życia każdego z pisarzy.
Znając daty urodzin i śmierci możemy obliczyć długość życia każdego z pisarzy:
Adam Mickiewicz: \(1855-1798=57\) lat
Cyprian Kamil Norwid: \(1883-1821=62\) lata
Jan Kasprowicz: \(1926-1860=66\) lat
Stanisław Ignacy Witkiewicz: \(1939-1885=54\) lata

To oznacza, że najkrócej żył Stanisław Ignacy Witkiewicz.

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Sprawdźmy ile pizzy zostało Antkowi i Czarkowi.
Antkowi zostało \(1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\) pizzy.
Czarkowi zostało \(1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\) pizzy.

Mniejszym ułamkiem jest \(\frac{1}{4}\), zatem mniej pizzy zostało Czarkowi. Zdanie jest więc nieprawdą.

Do zadania można było też podejść nieco inaczej. Wystarczyło sprawdzić kto zjadł więcej pizzy, co analogicznie oznaczałoby, że zostało mu mniej pizzy. Antek zjadł \(\frac{2}{3}=\frac{8}{12}\) pizzy, a Czarek zjadł \(\frac{3}{4}=\frac{9}{12}\) pizzy. Skoro więcej pizzy zjadł Czarek, to znaczy że mniej mu jej zostało.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Aby dowiedzieć się ile pizzy zjedli chłopcy musimy wykonać następujące działanie:
$$\frac{2}{3}+\frac{5}{8}+\frac{3}{4}=\frac{16}{24}+\frac{15}{24}+\frac{18}{24}=\frac{49}{24}=2\frac{1}{24}$$

Z obliczeń wyszło, że chłopcy zjedli wspólnie więcej niż dwie całe pizze, zatem zdanie jest prawdą.

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Sprowadzenie liczb do jednakowej podstawy potęgi.
Aby móc porównać te wszystkie liczby musimy sprowadzić je do jednakowej podstawy potęgi lub jednakowego wykładnika potęgi. W tym przypadku będziemy sprowadzać liczby do jednakowej podstawy potęgi, która będzie równa \(2\). Rozpiszmy sobie zatem każdą z liczb po kolei.

W przypadku liczby \(a\) musimy najpierw wykonać dodawanie potęg. Wiemy, że na dodawanie i odejmowanie potęg nie ma jakichś specjalnych wzorów (nie możemy dodawać wykładników potęg, bo wykładniki dodajemy przy mnożeniu potęg!). Trzeba się tutaj posłużyć pewnym sprytem i zauważyć, że czterokrotnie dodajemy tą samą potęgę, czyli \(4^3\). Całość rozpisać możemy więc w następujący sposób:
$$a=4^3+4^3+4^3+4^3=4\cdot4^3=4^1\cdot4^3=4^{1+3}=4^4$$

Chcemy jeszcze sprowadzić tę liczbę do podstawy potęgi równej \(2\), zatem zapisując \(4\) jako \(2^2\) i korzystając z działań na potęgach otrzymamy:
$$a=4^4=(2^2)^4=2^{2\cdot4}=2^8$$

Teraz przejdźmy do liczby \(b\). Tutaj sprawa jest prosta, bo mamy potęgę do potęgi, więc wykładniki musimy wymnożyć:
$$b=(2^4)^2=2^{4\cdot2}=2^8$$

Na koniec liczba \(c\). Z nią nic nie musimy robić, bo jest ona już zapisana w pożądanej przez nas postaci, zatem \(c=2^4\).

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
W poprzednim kroku udało nam się ustalić, że \(a=2^8\) oraz że \(b=2^8\). Te dwie liczby są więc sobie równe, czyli zdanie jest prawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Wiemy, że \(b=2^8\) oraz że \(c=2^4\). Już w tym momencie powinniśmy dostrzec, że liczba \(b\) nie jest dwa razy większa niż liczba \(c\), ale jeśli tego nie dostrzegamy, to zawsze możemy podzielić te dwie liczby przez siebie:
$$2^8:2^4=2^{8-4}=2^4=16$$

To oznacza, że liczba \(b\) jest \(16\) razy większa od liczby \(c\).

B, C

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
W tym zadaniu musimy poprawnie wyłączyć czynniki przed znak pierwiastka, tak aby pod pierwiastkami jednej i drugiej liczby znalazła się ta sama wartość - dopiero wtedy będziemy w stanie powiedzieć ile razy jedna liczba jest większa od drugiej.

Zacznijmy od pierwszej liczby. Rozbijając \(32\) na iloczyn \(16\cdot2\) otrzymamy:
$$3\sqrt{32}=3\cdot\sqrt{16\cdot2}=3\cdot4\sqrt{2}=12\sqrt{2}$$

Teraz czas na drugą liczbę. Rozbijając \(18\) na iloczyn \(9\cdot2\) otrzymamy:
$$2\sqrt{18}=2\sqrt{9\cdot2}=2\cdot3\cdot\sqrt{2}=6\sqrt{2}$$

To oznacza, że pierwsza liczba jest dwa razy większa od drugiej, bowiem \(12\sqrt{2}:6\sqrt{2}=2\).

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Wiedząc, że \(\sqrt{16}=4\) oraz że \(\sqrt{81}=9\) otrzymamy:
$$\sqrt{\sqrt{16}+\sqrt{81}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$$

Liczba wymierna to taka, którą da się zapisać w postaci ułamka zwykłego, którego licznik jest liczbą całkowitą, a mianownik jest różny od zera. Liczby \(\sqrt{13}\) nie uda się zapisać w ten sposób i jest to klasyczny przykład liczby niewymiernej.

C

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszej sumy.
Nasza pierwsza suma polega na ośmiokrotnym dodaniu do siebie wartości \(2^3\), co możemy zapisać jako \(8\cdot2^3\). Wiedząc, że \(8\) to jest \(2^3\) możemy całość rozpisać w następujący sposób:
$$8\cdot2^3=2^3\cdot2^3=2^{3+3}=2^6$$

Krok 2. Analiza drugiej sumy.
W drugiej sumie dodajemy do siebie wartość \(2^2\). Nie wiemy ile jest tych składników, więc możemy przyjąć że jest ich \(x\). Chcemy, aby suma tych składników wyniosła \(2^6\). Można więc powiedzieć, że analogicznie do pierwszego kroku, musimy się zastanowić kiedy \(x\cdot2^2=2^6\). Z działań na potęgach powinniśmy zauważyć, \(2^4\cdot2^2=2^6\), stąd też naszą niewiadomą \(x\) jest \(2^4\), czyli \(16\). Krótko mówiąc - aby otrzymać wartość \(2^6\) musimy \(16\) razy dodać do siebie \(2^2\).

C

Omówmy całą sytuację - na początku mamy \(14\) losów wygrywających, a wszystkich losów jest łącznie \(50\). Ania wyciąga swój los i jest on pusty. To oznacza, że w puli nadal mamy \(14\) losów wygrywających, ale wszystkich losów jest już łącznie \(49\). Szanse Hani na to, że wyciągnie los zwycięski, wynoszą teraz:
$$P(A)=\frac{14}{49}=\frac{2}{7}$$

B

Wykres pokazuje nam jak z biegiem czasu zmieniała się odległość harcerzy od celu wędrówki. Skoro harcerze wyruszyli w trasę o godzinie \(9:00\), a nas interesuje jak daleko znajdowali się od celu o godzinie \(10:30\), to musimy sprawdzić na wykresie jak daleko od celu są harcerze po upływie \(1,5\) godziny. Z wykresu możemy odczytać, że w tym momencie harcerze byli \(3\) kilometry od celu.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z wykresu możemy odczytać, że w ciągu pierwszej godziny harcerze pokonali \(8km-3km=5km\). Ich prędkość podróży zgodnie ze wzorem \(v=\frac{s}{t}\) wyniosła więc:
$$v=\frac{5km}{1h} \\
v=5\frac{km}{h}$$

Teraz patrzymy się na ostatnią godzinę podróży. Z wykresu możemy odczytać, że w ostatniej godzinie harcerze pokonali \(1km-0km=1km\). W związku z tym średnia prędkość w tym momencie wyniosła:
$$v=\frac{1km}{1h} \\
v=1\frac{km}{h}$$

To oznacza, że zdanie jest prawdą, bo faktycznie w pierwszej godzinie prędkość wędrówki harcerzy była pięć razy większa niż w ciągu ostatniej godziny.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Z wykresu możemy odczytać, że cała trasa miała długość \(8km\). Czas podróży wyniósł \(4\) godziny. W związku z tym średnia prędkość na całej trasie wyniosła:
$$v=\frac{8km}{4h} \\
v=2\frac{km}{h}$$

Zdanie jest więc prawdą.

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Obliczenie długości odcinków \(KE\) oraz \(EL\).
Spójrzmy na mały trójkąt \(KEN\). Z treści zadania możemy wywnioskować, że odcinki \(NK\) oraz \(NE\) mają długość \(1cm\). Skoro tak, to wiemy już, że jest to trójkąt prostokątny równoramienny, czyli krótko mówiąc - jest to trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\). W takich trójkątach przeciwprostokątna jest \(\sqrt{2}\) razy większa od długości przyprostokątnych (podobna sytuacja jak z przekątną kwadratu), zatem odcinek \(KE\) ma miarę \(\sqrt{2}cm\). Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to moglibyśmy wyliczyć długość odcinka \(KE\) z Twierdzenia Pitagorasa.

Teraz spójrzmy na mały trójkąt \(ELM\). Tutaj sytuacja jest identyczna jak przed chwilą, ten trójkąt także ma przyprostokątne o długości \(1cm\), zatem odcinek \(EL\) ma także długość \(\sqrt{2}cm\).

Nanieśmy teraz te nasze informacja na rysunek:


Przy okazji zwróć uwagę na to, że kąt \(KEL\) jest kątem prostym. Skąd to wiemy? Możemy to udowodnić z Twierdzenia Pitagorasa, bowiem zachodzi tutaj równość:
$$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=2^2 \\
2+2=4 \\
4=4 \\
L=P$$

To oznacza, że trójkąt \(KEL\) jest prostokątny.

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Aby trójkąty były względem siebie przystające, to muszą mieć jednakowe długości wszystkich boków. Widzimy wyraźnie, że trójkąty \(KEN\) oraz \(KEL\) mają różne miary, więc na pewno nie są przystające. Zdanie jest więc fałszem.

Tak na marginesie - te trójkąty są podobne (a nie przystające) i to jest główna pułapka w tym zadaniu. Skala podobieństwa tych trójkątów będzie równa \(k=\sqrt{2}\), bowiem każdy bok trójkąta \(KEL\) jest \(\sqrt{2}\) razy większy od boku trójkąta \(KEN\).

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Do zadania możemy podejść na dwa sposoby. Jeżeli ustalimy sobie (tak jak w poprzednim kroku), że skala podobieństwa tych trójkątów jest równa \(k=\sqrt{2}\), to bardzo szybko będziemy w stanie ustalić, że pole trójkąta \(KEL\) będzie \(2\) razy większe od pola trójkąta \(MEL\), bowiem \(k^2=\sqrt{2}^2=2\). To będzie więc jednocześnie oznaczało, że faktycznie pole trójkąta \(MEL\) jest dwa razy mniejsze od pola trójkąta \(KEL\).

Jeżeli jednak nie dostrzegliśmy podobieństwa trójkątów, to posłużyć możemy się standardowymi wzorami na pole trójkąta, wszak w trójkątach prostokątnych długości przyprostokątnych są jednocześnie podstawą oraz wysokością. Zatem:
$$P_{MEL}=\frac{1}{2}ah \\
P_{MEL}=\frac{1}{2}\cdot1\cdot1 \\
P_{MEL}=0,5[cm^2]$$

$$P_{KEL}=\frac{1}{2}ah \\
P_{KEL}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} \\
P_{KEL}=1[cm^2]$$

Teraz widzimy wyraźnie, że pole trójkąta \(MEL\) jest faktycznie dwa razy mniejsze od pola trójkąta \(KEL\). Zdanie jest więc prawdą.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Niezależnie od tego jak te małe klocki zostaną ułożone, to objętość powstałej bryły będzie równa objętości początkowego sześcianu. Sześcian na początku miał objętość \(1dm^3\), zatem chcąc sprawdzić czy nowa bryła ma objętość równą \(1000cm^3\), musimy jedynie poprawnie zamienić jednostki objętości. Pamiętając o tym, że \(1dm=10cm\) możemy zapisać, że:
$$1dm^3=10cm\cdot10cm\cdot10cm=1000cm^3$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Musimy ustalić ile małych kostek powstało po rozcięciu naszego początkowego sześcianu. Skoro po rozcięciu powstały nam sześcienne klocki o boku \(1cm\), to każdy taki klocek ma objętość:
$$V=(1cm)^3 \\
V=1cm^3$$

Ustaliliśmy już, że objętość całej bryły jest równa \(1000cm^3\), więc takich małych klocków o objętości \(V=1cm^3\) jest na pewno \(1000\). To oznacza, że na rysunku mamy \(1000\) klocków ułożonych obok siebie. Każdy klocek ma długość \(1cm\), zatem długość nowej bryły będzie równa \(1000cm\), czyli właśnie \(10m\). Zdanie jest więc prawdą.

A, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Jeżeli cena deskorolki została obniżona z \(480zł\) na \(384zł\), to znaczy że obniżka wyniosła \(96zł\). Skoro więc obniżka wyniosła \(96zł\) z kwoty \(480zł\), to procentowo była to zniżka o:
$$\frac{96}{480}\cdot100\%=20\%$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Chcemy, by cena z \(384zł\) wzrosła do ceny \(480zł\), czyli chcemy teraz podwyższyć cenę o \(96zł\) z ceny \(384zł\). Procentowo podwyżka wyniesie więc:
$$\frac{96}{384}\cdot100\%=25\%$$

A, C

Krok 1. Obliczenie ceny lodów śmietankowych oraz karmelowych.
Wprowadźmy sobie do zadania następujące oznaczenia:
\(x\) - cena lodów śmietankowych
\(2x\) - cena lodów karmelowych (bo z treści zadania wynika, że lody karmelowe są dwukrotnie droższe)

Pola kupiła \(3\) lody śmietankowe oraz \(1\) lód karmelowy i zapłaciła za niego \(10zł\). Na podstawie tych informacji możemy ułożyć następujące równanie:
$$3\cdot x+1\cdot2x=10 \\
3x+2x=10 \\
5x=10 \\
x=2$$

To oznacza, że lody śmietankowe kosztują \(2zł\), a tym samym lody karmelowe kosztują \(4zł\) (bo \(2\cdot2zł=4zł\)).

Krok 2. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Mela kupiła \(1\) kulkę lodów śmietankowych oraz \(2\) kulki lodów karmelowych, zatem zapłaciła:
$$2zł+2\cdot4zł=2zł+8zł=10zł$$

To oznacza, że Mela wydała na lody tyle samo co Pola.

Krok 3. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Ala kupiła \(1\) kulkę lodów śmietankowych oraz \(3\) kulki lodów karmelowych, zatem zapłaciła:
$$2zł+3\cdot4zł=2zł+12zł=14zł$$

To oznacza, że zapłaciła o \(4zł\) więcej od Poli, bo \(14zł-10zł=4zł\).

A

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Na podstawie treści zadania możemy zapisać, że:
\(x\) - wiek Dominiki
\(x-2\) - wiek Kasi (bo Kasia jest o dwa lata młodsza od Dominiki)
\(2x\) - wiek mamy (bo mama jest dwa razy starsza od Dominiki)

Krok 2. Obliczenie różnicy wieku między mamą i Kasią.
Aby się dowiedzieć ile lat miała mama kiedy urodziła się Kasia wystarczy od wieku mamy odjąć wiek Kasi, zatem:
$$2x-(x-2)=2x-x+2=x+2$$

T B,

Powinniśmy na rysunku zauważyć, że kwadrat oraz równoległobok mają równy jeden bok (ten dolny) oznaczony jako \(a\). Dodatkowo te dwie figury mają jednakowe wysokości (możemy nawet stwierdzić, że ta wysokość jest także równa \(a\) skoro figura \(ABCD\) jest kwadratem). Zapiszmy teraz wzory na pola tych figur.

• Pole kwadratu \(ABCD\) możemy wyrazić wzorem \(P=a\cdot a=a^2\).
• Pole równoległoboku \(KLMN\) zwyczajowo zapisujemy jako \(P=a\cdot h\), ale skoro \(a\) jest równe \(h\) to mamy \(P=a\cdot a=a^2\).

Wynika więc z tego, że te dwa pola są sobie równe, gdyż te dwie figury mają równy jeden bok oraz równe wysokości poprowadzone na ten bok.

D

Krok 1. Dostrzeżenie, że wszystkie bryły muszą mieć jednakową wysokość.
Wzór na objętość graniastosłupa to \(V=P_{p}\cdot H\). Skoro wszystkie bryły mają jednakowe pola podstawy i mają jednakową objętość, to muszą mieć także jednakową wysokość samej bryły. To ważne spostrzeżenie, bowiem dzięki temu możemy zapisać, że krawędzie boczne wszystkich brył (które są przecież wysokościami naszych graniastosłupów) mają jednakową długość \(x\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni bocznej pierwszej bryły.
Pole powierzchni bocznej to suma pól wszystkich ścian bocznych. W przypadku pierwszej bryły ścianami bocznymi są dwa prostokąty o wymiarach \(3cm\times x\;cm\) oraz dwa prostokąty o wymiarach \(12cm\times x\;cm\). W związku z tym:
$$P_{I}=2\cdot(3\cdot x)+2\cdot(12\cdot x)=6x+24x=30x$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni bocznej drugiej bryły.
Analogicznie jak w poprzednim przypadku, tym razem ścianami bocznymi są dwa prostokąty o wymiarach \(4cm\times x\;cm\) oraz dwa prostokąty o wymiarach \(9cm\times x\;cm\), zatem:
$$P_{II}=2\cdot(4\cdot x)+2\cdot(9\cdot x)=8x+18x=26x$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni bocznej trzeciej bryły.
Tutaj ścianami bocznymi są dwa prostokąty o wymiarach \(5cm\times x\;cm\), jeden prostokąt o wymiarach \(6cm\times x\;cm\) oraz jeden prostokąt o wymiarach \(12cm\times x\;cm\), zatem:
$$P_{III}=2\cdot(5\cdot x)+1\cdot(6\cdot x)+1\cdot(12\cdot x)=10x+6x+12x=28x$$

To oznacza, że \(P_{II}\lt P_{III}\lt P_{I}\).

Ocena Janka była wyższa niż średnia klasy o \(0,5\) stopnia.

Krok 1. Obliczenie średniej ocen z kartkówki.
Z wykresu możemy odczytać, że:
• \(4\) uczniów otrzymało jedynkę
• \(6\) uczniów otrzymało dwójkę
• \(7\) uczniów otrzymało trójkę
• \(2\) uczniów otrzymało czwórkę
• \(1\) uczeń otrzymał piątkę

To oznacza, że średnia ocen uczniów wyniosła:
$$śr=\frac{4\cdot1+6\cdot2+7\cdot3+2\cdot4+1\cdot5}{4+6+7+2+1} \\
śr=\frac{4+12+21+8+5}{20} \\
śr=\frac{50}{20} \\
śr=2,5$$

Krok 2. Obliczenie o ile ocena, którą uzyskał Janek, była wyższa niż średnia ocen.
Janek otrzymał ocenę \(3\). Średnia klasy wyniosła \(2,5\). To oznacza, że ocena Janka jest wyższa od średniej ocen całej klasy o \(3-2,5=0,5\) stopnia.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz średnią ocen ze sprawdzianu.
LUB
• Gdy sposób rozwiązywania jest dobry, ale popełniono błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Lena powinna dopłacić \(6zł\).

Krok 1. Obliczenie łącznej kwoty zamówienia (bez napiwku) oraz samego napiwku.
Zgodnie z treścią zadania zamówienie Ani kosztowało \(24zł\), Hani \(36zł\), a Leny \(40zł\). Łącznie więc koszt zamówionych rzeczy wyniósł:
$$24zł+36zł+40zł=100zł$$

Skoro na rachunku była do zapłaty kwota \(115zł\), a zamówione produkty kosztowały \(100zł\), to napiwek wyniósł:
$$115zł-100zł=15zł$$

Krok 2. Ustalenie udziału Leny w całym zamówieniu.
Dziewczyny zamówiły produkty za \(100zł\), z czego Lena zamówiła za \(40zł\). Udział Leny w całym rachunku wyniósł więc:
$$\frac{40}{100}\cdot100\%=40\%$$

Krok 3. Ustalenie ile Lena powinna dopłacić na napiwek.
Jeżeli chcemy, by dziewczynki zapłaciły napiwek proporcjonalnie do swojego zamówienia, to Lena powinna zapłacić \(40\%\) kwoty napiwku. Wiemy już, że napiwek wyniósł \(15zł\), zatem Lena powinna zapłacić:
$$0,4\cdot15zł=6zł$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sposób rozwiązywania jest dobry, ale popełniono błąd rachunkowy (np. źle obliczysz sumę zamówień lub procent udziału Leny w całym zamówieniu).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Zacieniony kąt ma miarę \(89°\), więc jest to kąt ostry.

Aby dobrze opisać co będziemy liczyć, to oznaczmy sobie zacieniony kawałek kąta przy boku \(AE\) jako \(α\), natomiast zacieniony kawałek kąta przy boku \(AD\) jako \(β\).


Krok 1. Obliczenie miary kąta \(α\).
Spróbujmy ustalić jaka jest miara zacienionego kąta \(α\). Powinniśmy dostrzec, że ten kąt oraz kąt o mierze \(42°\) są kątami naprzemianległymi, zatem będą one miały jednakową miarę. Z tego też względu \(α=42°\).

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(β\).
Kąt o mierze \(47°\) oraz nasz kąt \(β\) tworzą parę kątów wierzchołkowych. Z własności kątów wierzchołkowych wynika, że mają one tą samą miarę, stąd też możemy zapisać, że \(β=47°\).

Krok 3. Obliczenie miary zacienionego kąta.
Nasz zacieniony kąt jest sumą miar kątów \(α\) oraz \(β\), zatem jego miara wyniesie:
$$42°+47°=89°$$

Zacieniony kąt jest więc kątem ostrym.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz miarę zaznaczonego kąta, ale nie określisz, że jest to kąt ostry.
LUB
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymany wynik będzie niepoprawny jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(Obw=96cm\)

Krok 1. Obliczenie długości przyprostokątnych oraz przeciwprostokątnej trójkąta.
Prostokąt został podzielony na cztery przystające (czyli jednakowe) trójkąty prostokątne. Spróbujmy poznać wymiary każdego z tych trójkątów. Ustalmy najpierw jakie są długości przyprostokątnych tego trójkąta. Z rysunku wynika, że \(a=8cm\) (bo krótsza przyprostokątna pokrywa się z krótszym bokiem prostokąta), natomiast \(b=15cm\) (bo dłuższa przyprostokątna to połowa długości całego prostokąta).

Znając długości przyprostokątnych możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej, której długość potrzebujemy do obliczenia obwodu drugiej figury. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$8^2+15^2=c^2 \\
64+225=c^2 \\
c^2=289 \\
c=\sqrt{289} \quad\lor\quad c=-\sqrt{289} \\
c=17 \quad\lor\quad c=-17$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(c=17cm\).

Krok 2. Obliczenie różnicy między dłuższą i krótszą przyprostokątną.
Jak spojrzymy się na rysunek to zauważymy, że na obwód drugiej figury składają się jeszcze takie małe fragmenty, które są różnicą między długością dłuższej i krótszej przyprostokątnej.


Dłuższa przyprostokątna ma długość \(15cm\), krótsza ma długość \(8cm\), zatem każdy pojedynczy mały kawałeczek obwodu tej figury będzie miał długość:
$$15cm-8cm=7cm$$

Krok 3. Obliczenie obwodu figury.
Nasza figura składa się z czterech odcinków o długości przeciwprostokątnej (którą wyznaczyliśmy w 1. kroku) oraz czterech odcinków o długości będącej różnicą między przyprostokątnymi (którą wyznaczyliśmy w 2. kroku). W związku z tym:
$$Obw=4\cdot17cm+4\cdot7cm=68cm+28cm=96cm$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz długość przeciwprostokątnej trójkąta (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz długości boków drugiej figury (patrz: Krok 1. oraz Krok 2.).
LUB
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymany wynik będzie niepoprawny jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Najkorzystniej wyjdzie kupić farbę Aksamitną.

Krok 1. Obliczenie ile metrów kwadratowych da się pomalować pojedynczą puszką farby.
W ostatniej kolumnie mamy podaną wydajność każdej z farb w przeliczeniu na \(1\) litr. Spróbujmy zatem sprawdzić ile metrów kwadratowych pomalujemy mając każdą z wymienionych puszek. W tym celu musimy wymnożyć pojemność puszki przez jej wydajność:
• Śnieżynka: \(2\cdot10\frac{m^2}{l}=20m^2\)
• Bielinka: \(3\cdot10\frac{m^2}{l}=30m^2\)
• Aksamitna: \(4\cdot12\frac{m^2}{l}=48m^2\)
• Welurowa: \(5\cdot14\frac{m^2}{l}=70m^2\)

Krok 2. Obliczenie ile puszek trzeba kupić i jaka jest ich łączna cena.
Dziadek chce pomalować powierzchnię \(70m^2\) i chce to zrobić dwukrotnie, czyli realnie pomaluje \(2\cdot70m^2=140m^2\). Sprawdźmy zatem ilu puszek farby potrzeba do pomalowania takiej powierzchni i ile trzeba za nie zapłacić:

• Śnieżynka - jedną puszką jesteśmy w stanie pomalować \(20m^2\), zatem tych puszek potrzebujemy:
$$140m^2:20m^2=7$$

Cena pojedynczej puszki to \(16zł\), zatem malowanie Śnieżynką będzie kosztować:
$$7\cdot16zł=112zł$$

• Bielinka - jedną puszką jesteśmy w stanie pomalować \(30m^2\), zatem tych puszek potrzebujemy:
$$140m^2:30m^2=4\frac{2}{3}\approx5$$

Musieliśmy zaokrąglić (do góry) liczbę puszek do pełnej wartości, bo nie da się przecież kupić \(4\frac{2}{3}\) puszki. Stąd też potrzeba kupić \(5\) opakowań tej farby. Cena pojedynczej puszki to \(22zł\), zatem malowanie Bielinką będzie kosztować:
$$5\cdot22zł=110zł$$

• Aksamitna - jedną puszką jesteśmy w stanie pomalować \(48m^2\), zatem tych puszek potrzebujemy:
$$140m^2:48m^2=2\frac{11}{12}\approx3$$

Musieliśmy zaokrąglić (do góry) liczbę puszek do pełnej wartości, bo nie da się przecież kupić \(2\frac{11}{12}\) puszki. Stąd też potrzeba kupić \(3\) opakowania tej farby. Cena pojedynczej puszki to \(35zł\), zatem malowanie Aksamitną będzie kosztować:
$$3\cdot35zł=105zł$$

• Welurowa - jedną puszką jesteśmy w stanie pomalować \(70m^2\), zatem tych puszek potrzebujemy:
$$140m^2:70m^2=2$$

Cena pojedynczej puszki to \(54zł\), zatem malowanie Welurową będzie kosztować:
$$2\cdot54zł=108zł$$

To oznacza, że najkorzystniej wyjdzie kupić farbę Aksamitną.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz ile metrów kwadratowych można pomalować z jednego opakowania farby (patrz: Krok 1.).
LUB
• Gdy poprawnie obliczysz ile litrów każdej farby potrzeba do pomalowania \(140m^2\).
LUB
• Gdy błędnie założysz, że dziadek potrzebuje \(70m^2\) i konsekwentnie do tego błędu wyjdzie Ci, że najatrakcyjniejsza jest farba Welurowa.
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz liczbę potrzebnych puszek (patrz: Krok 2.).
LUB
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymany wynik będzie niepoprawny jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wysokość raty wynosi \(180zł\).

Krok 1. Obliczenie ceny komputera przy płatności ratalnej.
Skoro komputer kosztuje \(2500zł\), a w ofercie ratalnej jego cena ulega podwyższeniu o \(8\%\), to cena tego komputera wyniesie:
$$1,08\cdot2500zł=2700zł$$

Krok 2. Obliczenie kwoty, która będzie rozłożona na raty.
Z treści zadania wynika, że trzeba od razu zapłacić \(20\%\) podwyższonej ceny komputera, czyli na starcie trzeba zapłacić:
$$0,2\cdot2700zł=540zł$$

To oznacza, że na raty zostanie rozłożona kwota w wysokości:
$$2700zł-540zł=2160zł$$

Oczywiście moglibyśmy też zapisać od razu, że na raty zostanie rozłożone \(80\%\) podwyższonej kwoty. Wynik wyjdzie dokładnie ten sam:
$$0,8\cdot2700zł=2160zł$$

Krok 3. Obliczenie wysokości raty.
Wiemy już, że na raty zostanie rozłożona kwota \(2160zł\). Skoro mamy mieć \(12\) rat, to każda z nich wyniesie:
$$2160zł:12=180zł$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz cenę komputera kupowanego na raty (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz kwotę, którą trzeba zapłacić "od ręki" (patrz: Krok 2.).
LUB
• Gdy obliczysz kwotę, która będzie rozłożona na raty (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymany wynik będzie niepoprawny jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.